∫_0^1 ∫_1^4 y/(1+x^2 ) dy dx

∫_0^1 ∫_1^4 y/(1+x^2 ) dy dx

Jawab:

15π/8

Penjelasan dengan langkah-langkah:

$int _0^1int _1^4frac{y}{1+x^2}dydx$

A. Keluarin yang ada Integral 4 dan 1, dari integral 1 dan 0

$(int _1^4frac{y}{1+x^2}dy)$

Terus konstannya $(frac{y}{1+x^2})$ keluarin dari integral:

$frac{1}{1+x^2}* int _1^4ydy$ (y-nya ada didalam integral, jadi ubah nomornya ke 1, krn integral)

Pake rumus integral $int x^adx=frac{x^{a+1}}{a+1}$ , karena pangkat di y dalam integral 1, a=1

$frac{1}{1+x^2}left[frac{y^{1+1}}{1+1}right]^4_1\\=frac{1}{x^2+1}left[frac{y^2}{2}right]^4_1\\= frac{1*:left[frac{y^2}{2}right]^4_1}{1+x^2}\\= frac{left[frac{y^2}{2}right]^4_1}{1+x^2}$

Masukin 4 ke $frac{y^2}{2}right$ , terus masukin 1 ke $frac{y^2}{2}right$ . Abis itu kurangin..

$[frac{4^2}{2}] - [frac{1^2}{2}]\\= [frac{16}{2}] - [frac{1}{2}]\\= frac{15}{2}$

Lalu sederhanakan

$frac{frac{15}{2}}{1+x^2}\\= frac{15}{2left(1+x^2right)}$

B. Selesaikan integral yang ada diluarnya (yang ada angka 1 dan 0)

$int _0^1frac{15}{2left(1+x^2right)}dx$

Keluarin konstannya yg ada nomornya $frac{15}{2}$ dari integral, bukan (1+x²)

$frac{15}{2}* int _0^1frac{1}{1+x^2}dx$

Integral umum:

$intfrac{1}{1+x^2}dx=arctan left(xright)$

Jadi rumusannya:

$frac{15}{2}left[arctan left(xright)right]^1_0$

Masukin 1 ke arctan(x) Arctan 1 = $frac{pi }{4}$ radian, masukin 0 ke arctan(x) terus kurangin.

$[arctan left(1)] = frac{pi }{4} radian$

= $frac{pi }{4}$

Kalikan untuk mendapatkan hasilnya:

$frac{15}{2} * frac{pi }{4}\\= frac{15pi }{8}$