1) HAL 54 (simak UI 2013)

Limit x mendekati 1
( tan(x – 1).sin(1 – √x) ) / (x² – 2x + 1)

faktorkan penyebutnya

( tan (x – 1).sin (1 – √x)) / (x – 1)(x – 1)

ubah ke dalam bentuk perkalian.
= tan (x – 1)/(x -1) * sin(1 – √x)/(x – 1)

karena untuk tan a, a sudah sama dengan penyebutnya, maka dapat diabaikan, karena jika dilimitkan, akan menjadi 1

= sin(1 – √x)/(x – 1)

jika 1 dimasukan ke dalam x, hasilnya tidak akan terdefinisi, jadi turunkan.

untuk pembilang, gunakan aturan rantai.
misal a = 1 – √x
da/dx = -1/2√x

y = sina
dy/da = cosa

dy/da * da/dx = cosa * -1/2√x
= -cos(1 – √x)/2√x

sehingga, limitnya akan menjadi :

= limit x mendekati 1
(-cos(1-√x)/2√x) / 1

= limit x mendekati 1
-cos(1-√x) / 2√x

= -cos(1-√1) / 2√1
= -cos(0) / 2
= -1/2

==========

limit x mendekati 0
√(1+tanx) – √(1+sinx) / x³

kali dengan sekawannya

= limit x mendekati 0
(√(1 + tanx) – √(1 + sinx)) * (√(1 + tanx) + √(1 + sinx)) / x³ * √(1+tanx) + √(1+sinx)

= limit x mendekati 0
(1 + tanx – (1 + sinx)) / x³(√(1 + tanx) + √(1 + sinx))

= limit x mendekati 0
(tanx + sinx) / x³(√(1 + tanx) + √(1 + sinx))

karena √(1 + tanx) + √(1 + sinx) tidak akan menghasilkan 0 ketika dimasukan nilai 0, jadi masukan nilainya

= limit x mendekati 0
(tanx + sinx) / x³(√(1 + tan0) + √(1 + sin0))

= limit x mendekati 0
(tanx + sinx) / x³(√1 + √1)

= limit x mendekati 0
(tanx + sinx) / x³(2)

= limit x mendekati 0
(tanx + sinx) / 2x³

= limit x mendekati 0
tanx/2x³ + sinx/2x³

keadaan sudah sama-sama bernilai x, abaikan pangkatnya (khusus untuk sin dan tan)

sehingga,

= 1/2 + 1/2
= 1/4