1. Volume benda putar yang terbentuk karena daerah dibatasi y = 9 – x² dan y = x + 7 diputar 360° mengelilingi sumbu x adalah …
Jawaban:
Volume benda putar yang terbentuk karena daerah dibatasi y = 9 – x² dan y = x + 7 diputar 360⁰ mengelilingi sumbu x adalah 66frac{3}{5} pi66
5
3
π satuan volum. Hasil tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus integral. Rumus dasar:
∫ kxⁿ dx = frac{k}{n + 1} x^{n + 1}
n+1
k
x
n+1
+ C, dengan n ≠ –1
Bentuk umum integral tentu
ₐ∫ᵇ f’(x) dx = f(x) ₐ|ᵇ = f(b) – f(a)
Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva pada interval a ≤ x ≤ b yaitu
V = pi int limits_{a} limits^{b} {(f^{2}(x) – g^{2}(x))} : dxπ
a
∫
b
(f
2
(x)−g
2
(x))dx
dengan
f(x) = kurva yang lebih jauh dengan sumbu x
f(x) = kurva yang lebih dekat dengan sumbu x
Pembahasan
Sebelumnya kita gambar dulu kedua kurva pada koordinat kartesius yaitu
Menggambar y = 9 – x²
kurva terbuka ke bawah karena koefisien x² bernilai negatif
Titik potong terhadap sumbu x (y = 0):
0 = 9 – x²
x² = 9
x = ±3
x = –3 atau x = 3
(–3, 0) dan (3, 0)
Titik potong terhadap sumbu y (x = 0):
y = 9 – 0²
y = 9
(0, 9)
Menggambar y = x + 7
Titik potong terhadap sumbu x (y = 0):
x + 7 = 0
x = –7
(–7, 0)
Titik potong terhadap sumbu y (x = 0):
y = 0 + 7
y = 7
(0, 7)
Hubungkan dua titik tersebut sehingga membentuk garis lurus
Titik potong y = 9 – x² dan y = x + 7
y = 9 – x²
x + 7 = 9 – x²
x² + x + 7 – 9 = 0
x² + x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0
(x + 2) = 0 atau (x – 1) = 0
x = –2 atau x = 1
Setelah kita gambar, maka
f(x) = 9 – x²
g(x) = x + 7
Batas kurva terletak pada interval: –2 ≤ x ≤ 1
Jadi volume benda putar tersebut adalah
V = pi int limits_{-2} limits^{1} {((9 – x^{2})^{2} – (x + 7)^{2})} : dxπ
−2
∫
1
((9−x
2
)
2
−(x+7)
2
)dx
V = pi int limits_{-2} limits^{1} {((81 – 18x^{2} + x^{4}) – (x^{2} + 14x + 49))} : dxπ
−2
∫
1
((81−18x
2
+x
4
)−(x
2
+14x+49))dx
V = pi int limits_{-2} limits^{1} {(81 – 18x^{2} + x^{4} – x^{2} – 14x – 49)} : dxπ
−2
∫
1
(81−18x
2
+x
4
−x
2
−14x−49)dx
V = pi int limits_{-2} limits^{1} {(x^{4} – 19x^{2} – 14x + 32)} : dxπ
−2
∫
1
(x
4
−19x
2
−14x+32)dx
V = {( frac{1}{5}x^{5} – frac{19}{3}x^{3} – frac{14}{2}x^{2} + 32x)} | limits_{-2} limits^{1} : pi
V = {( frac{1}{5}x^{5} – frac{19}{3}x^{3} – 7x^{2} + 32x)} | limits_{-2} limits^{1} : pi
V = ((frac{1}{5}(1)^{5} – frac{19}{3}(1)^{3} – 7(1)^{2} + 32(1)) – (frac{1}{5}(-2)^{5} – frac{19}{3}(-2)^{3} – 7(-2)^{2} + 32(-2))) : pi((
5
1
(1)
5
−
3
19
(1)
3
−7(1)
2
+32(1))−(
5
1
(−2)
5
−
3
19
(−2)
3
−7(−2)
2
+32(−2)))π
V = ((frac{1}{5}(1) – frac{19}{3}(1) – 7(1) + 32) – (frac{1}{5}(-32) – frac{19}{3}(-8) – 7(4) – 64)) : pi((
5
1
(1)−
3
19
(1)−7(1)+32)−(
5
1
(−32)−
3
19
(−8)−7(4)−64))π
V = ((frac{1}{5} – frac{19}{3} – 7 + 32) – (-frac{32}{5} + frac{152}{3} – 28 – 64)) : pi((
5
1
−
3
19
−7+32)−(−
5
32
+
3
152
−28−64))π
V = ((frac{1}{5} – frac{19}{3} + 25) – (-frac{32}{5} + frac{152}{3} – 92)) : pi((
5
1
−
3
19
+25)−(−
5
32
+
3
152
−92))π
V = (frac{1}{5} – frac{19}{3} + 25 + frac{32}{5} – frac{152}{3} + 92) : pi(
5
1
−
3
19
+25+
5
32
−
3
152
+92)π
V = (frac{33}{5} – frac{171}{3} + 117) : pi(
5
33
−
3
171
+117)π
V = (6frac{3}{5} – 57 + 117) : pi(6
5
3
−57+117)π
V = (6frac{3}{5} + 60) : pi(6
5
3
+60)π
V = 66frac{3}{5} : pi66
5
3
π
Pelajari lebih lanjut
Contoh soal lain tentang integral
Gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik (x, y) adalah 3x² + 3x + 6. Jika kurva tersebut melalui (1, 14), maka ia memotong sumbu y: brainly.co.id/tugas/26350679
Jika diketahui f"(x) = 10x – 3. Jika f'(2) = 15 dan f(1) = 1, maka f(x): brainly.co.id/tugas/10446883
Integral Aljabar: brainly.co.id/tugas/2664669
————————————————
Detil Jawaban
Kelas : 11
Mapel : Matematika
Kategori : Integral Bentuk Aljabar
Kode : 11.2.10
#JadiRankingSatu
