3. Diketahui vektor u = (1,-1) dan v = (2,1) .Proyeksi ortogonal vektor (3 u + v) pada (2 v) adalah....

3. Diketahui vektor u = (1,-1) dan v = (2,1) .Proyeksi ortogonal vektor (3 u + v) pada (2 v) adalah….

Hasil dari proyeksi ortogonal vektor $(3vec{u}+vec{v})$ pada vektor $2vec{v}$ adalah $displaystyle{boldsymbol{c.~frac{8}{5}vec{v}}}$ .

PEMBAHASAN

Proyeksi vektor ortogonal suatu vektor a terhadap vektor b dapat dicari dengan menggunakan rumus :

$displaystyle{vec{c}=frac{vec{a}.vec{b}}{|vec{b}|^2}vec{b}}$

Dengan :

$vec{c}=$ proyeksi vektor orthogonal vektor a terhadap vektor b

$vec{a}.vec{b}=$ dot product antara vektor a dan vektor b

$|vec{b}|=$ panjang vektor b

$vec{u}=begin{pmatrix}1 \-1end{pmatrix}~~~~~vec{v}=begin{pmatrix}2 \1end{pmatrix}$

Tentukan proyeksi ortogonal vektor $(3vec{u}+vec{v})$ pada vektor $2vec{v}$ .

Cari dahulu vektor $(3vec{u}+vec{v})$ dan vektor $2vec{v}$ .

Misal :

$vec{p}=3vec{u}+vec{v}$

$vec{p}=3begin{pmatrix}1 \-1end{pmatrix}+begin{pmatrix}2 \1end{pmatrix}$

$vec{p}=begin{pmatrix}3 \-3end{pmatrix}+begin{pmatrix}2 \1end{pmatrix}$

$vec{p}=begin{pmatrix}3+2 \-3+1end{pmatrix}$

$vec{p}=begin{pmatrix}5 \-2end{pmatrix}$

$vec{q}=2vec{v}$

$vec{q}=2begin{pmatrix}2 \1end{pmatrix}$

$vec{q}=begin{pmatrix}4 \2end{pmatrix}$

Misal hasil proyeksi ortogonalnya adalah vektor $vec{r}$ , maka :

$displaystyle{vec{r}=frac{vec{p}.vec{q}}{|vec{q}|^2}vec{q}}$

$displaystyle{vec{r}=frac{begin{pmatrix}5 \-2end{pmatrix}.begin{pmatrix}4 \2end{pmatrix}}{(sqrt{4^2+2^2})^2}begin{pmatrix}4 \2end{pmatrix}}$

$displaystyle{vec{r}=frac{5(4)-2(2)}{16+4}begin{pmatrix}4 \2end{pmatrix}}$

$displaystyle{vec{r}=frac{20-4}{20}begin{pmatrix}4 \2end{pmatrix}}$

$displaystyle{vec{r}=frac{16}{20}begin{pmatrix}4 \2end{pmatrix}}$

$displaystyle{vec{r}=frac{4}{5}times2timesbegin{pmatrix}2 \1end{pmatrix}}$

$displaystyle{vec{r}=frac{8}{5}vec{v}}$

Hasil dari proyeksi ortogonal vektor $(3vec{u}+vec{v})$ pada vektor $2vec{v}$ adalah $displaystyle{boldsymbol{c.~frac{8}{5}vec{v}}}$ .

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Vektor

Kode Kategorisasi: 10.2.6