Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

Berbagai macam cara : salah satunya subtitusi sudah di jwb rekan yang lain.

1. Cara Eliminasi :
    3x+y-z = 6  ..pers 1
    2x-3y+z = 11 ..pers 2
   x-y+3z = 10 .. pers 3
 
  tentukan variabel mana yang akan di eliminasi lebih dahulu.
 misal variabel z (karena koefisiennya pers 1 dan 2 sama)
 
  pers 1 : 3x +y-z=6
  pers 2 : 2x-3y+z=11 
            ——————– +
              5x – 2y = 17 … pers 4
 
  pers  1 : 3x+y-z = 6  –>x3  9x+3y-3z =18
  pers 3  : x-y+3z = 10            x -y+3z  =10  
                                          ———————- +
                                           10x + 2y = 28 …. pers 5

pers 4 : 5x-2y = 17
pers 5 : 10x+2y = 28
           ——————- +
                  15x = 45
                     x = 3

 pers 4 : 5(3)-2y = 17
             15-2y = 17
                -2y = 2
                   y = -1

pers 1 : 3(3)+(-1)-z = 6
             9-1-z = 6
              8-z = 6
                -z = -2
                 z = 2

{x,y,z = 3,-1,2 }

2. Cara carmel (matrix)
    ambil koefisiennya, kemudian determinankan:
    3   1   -1     3   1
    2  -3    1     2  -3
    1  -1    3     1   -1    
 
   det = 3.-3.3+1.1.1+-1.2.-1 – (1.2.3+3.1.-1+-1.-3. 1)
         = -27+1+2 – (6-3+3)
         = -24 – 6
         = -30
 
   tukar koefisien x dngn konstanta hasil, kemudian determinankan
   6    1  -1      6    1
  11   -3   1    11   -3
  10   -1   3    10  -1    

   det x = 6.-3.3+1.1.10+-1.11.-1 – (1.11.3+6.1.-1+-1.-3.10)
           = -54+10+11 – (33-6+30)
           = -33 – 57
           = -90

x= det x/ det
  = -90/-30
  = 3
  
  tukar koefisien y dgn konstanta hasil, kemudian determinankan
  3     6  -1     3    6
  2   11   1     2   11
  1   10   3     1   10

det y = 3.11.3+6.1.1+-1.2.10 – (6.2.3+3.1.10+-1.11.1)
        =  99+6-20 – (36+30-11)
        = 85 – 55
        = 30

y = det y / det
   = 30 / -30
    = -1
  
  tukar koefisien z dengan konstanta hasil, kemudian determinankan
  3    1    6     3   1
  2   -3   11    2   -3
  1   -1   10    1   -1

det z = 3.-3.10+1.11.1+6.2.-1 - (1.2.10+3.11.-1+6.-3.1)
        = -90+11-12 – (20-33-18)
        = -91 – (-31)
        = -91 + 31
        = -60

z = det z / det
   = -60 / -30
   = 2

{x,y,x = 3,-1,2}

Persamaan ke-3 : x-y+3z = 10
=> y= x+3z-10
Substitusikan ke persamaan 1
3x + y -z = 6
3x+x+3z-10-z=6
4x+2z= 16 => Semua dibagi 2
2x+z= 8
z = -2x+8
maka, y = x + 3(-2x+8) -10
y = x -6x +24 -10
y = -5x+14
Substitusikan ke persamaan 2 :
2x-3(-5x+14)+(-2x+8) = 11
2x +15x -42 -2x +8 = 11
15x = 45
x  = 3
y = -5x + 14
=> -5.3 + 14
=> -15 + 14 = -1
z = -2x + 8
-2.3 + 8
-6 + 8 = 2
Tolong cek kalau ada yang salah