Berapakah banyaknya bilangan bulat positif dua digit yang habis dibagi oleh masing-masing digitnya?

Jawab:

14 bilangan

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Misalkan x adalah bilangan bulat positif 2 digit, a dan b berturut-turut adalah digit dari x.

Maka:

x = 10a + b

dengan a dan b bilangan cacah, 0 < a < 10, dan 0 ≤ b < 10.

Kasus (1)

x habis dibagi a dinyatakan dengan:

a | 10a + b

⇒ (10a + b) mod a = 0

⇒ b mod a = 0

⇒ b = a·k, k bilangan bulat

⇒ terpenuhi jika b adalah kelipatan dari a

⇒ b = 0 tidak memenuhi, karena pembagian dengan 0 tak terdefinisi

Kasus (2)

x habis dibagi b dinyatakan dengan:

b | 10a + b

⇒ (10a + b) mod b = 0

⇒ 10a mod b = 0

⇒ (2·5·a) mod b = 0

⇒ 10 mod b = 0, atau a mod b = 0, atau 2 mod b = 0, atau 5 mod b

• 10 mod b = 0
  b kelipatan 10 ⇒ tidak mungkin, karena 0 ≤ b < 10

• a mod b = 0
  ⇒ a = b·k, k bilangan bulat
  ⇒ a kelipatan dari b
  ⇒ karena kasus (1) di atas, untuk kasus ini, a harus sama dengan b   …. (2.1)

• 2 mod b = 0
  ⇒ b = 2 jika a = 1 …. (2.2)

• 5 mod b = 0
  ⇒ b = 5 jika a = 1 …. (2.3)

Dari kasus (1) dan pernyataan (2.1), bilangan x yang memenuhi adalah:

11, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99  ⇒ 12 bilangan

Dari pernyataan (2.2) dan (2.3), bilangan x yang memenuhi adalah:

12, 15  ⇒ 2 bilangan

Total = 14 bilangan

KESIMPULAN

∴  Banyaknya bilangan bulat positif dua digit yang habis dibagi oleh masing-masing digitnya adalah 14 bilangan, yaitu 11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, dan 99.