sebuah fungsi f(n) terdefinisi untuk semua bilangan bulat n>1. jika f(n)/f(n-1)= n-1/n+1 dan f(1)=2017. maka f(2017) adalah ....

sebuah fungsi f(n) terdefinisi untuk semua bilangan bulat n>1. jika f(n)/f(n-1)= n-1/n+1 dan f(1)=2017. maka f(2017) adalah ….

Jawaban Terkonfirmasi

$f(n)=f(n-1)timesfrac{n-1}{n+1}\=left(f(n-2)timesfrac{n-2}{n}right)timesfrac{n-1}{n+1}=f(n-2)timesleft(frac{(n-2)(n-1)}{n(n+1)}right)\=left(f(n-3)timesfrac{n-3}{n-1}right)timesfrac{(n-2)(n-1)}{n(n+1)}=f(n-3)timesleft(frac{(n-3)(n-2)(n-1)}{(n-1)n(n+1)}right)\vdots\=f(1)timesfrac{(n-(n-1))hdots (n-3)(n-2)(n-1)}{(n-(n-3))hdots (n-1)n(n+1)}\=f(1)timesfrac{1times 2}{n(n+1)}\=2017times frac{2}{n(n+1)}\=frac{4034}{n(n+1)}\\therefore f(n)=frac{4034}{n(n+1)}$

akan dibuktikan rumus di atas benar menggunakan induksi matematika (hanya disertakan langkah induksinya, kalo lengkap nanti kepanjangan dan bukan menjadi bagian inti pertanyaanya)
$frac{f(n)}{f(n-1)}=frac{frac{4034}{n(n+1)}}{frac{4034}{(n-1)n}}=frac{n-1}{n+1}$

jadi
$f(2017)=frac{4034}{2017(2017+1)}=frac{2}{2018}=frac{1}{1009}$

Jawaban Terkonfirmasi

F(n)/f(n – 1) = (n – 1)/(n + 1)
f(n) = f(n – 1) . (n – 1)/(n + 1)
f(1) = 2017 = 2017/1
f(2) = f(2 – 1) . (2 – 1)/(2 + 1) = f(1) . 1/3 = 2017/3
f(3) = f(3 – 1) . (3 – 1)/(3 + 1) = f(2) . 2/4 = 2017/3 . 1/2 = 2017/6
f(4) = f(4 – 1) . (4 – 1)/(4 + 1) = f(3) . 3/5 = 2017/6 . 3/5 = 2017/10
f(5) = f(5 – 1) . (5 – 1)/(5 + 1) = f(4) . 4/6 = 2017/10 . 2/3 = 2017/15
Dilihat dari pola :
f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), ……, f(2017)
2017/1 , 2017/3 , 2017/6 , 2017/10 , 2017/15, …… , 2017/x

Lihat penyebutnya
1, 3, 6, 10, 15, ….., x
1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, …. , x
Karena x adalah penyebut dari f(2017) maka
x = 1 + 2 + 3 + …. + 2017
= Sn
= n/2 (a + Un)
= 2017/2 (1 + 2017)
= 2017/2 (2018)
= 2017 . 1009

Jadi
f(2017) = 2017/x = 2017 / (2017 . 1009) = 1/1009