Tolong bantuin saya!! - Universityku

Pertanyaan :
1. Jika $frac{SinA}{SinB}=frac{3}{5}$ , maka tentukanlah hasil dari $frac{tanfrac{1}{2}(A+B) }{tanfrac{1}{2} (A-B)}$ adalah

2. Penyusunan nomor kendaraan disebuah wilayah di Jakarta adalah sebagai berikut :
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
I B I I angka I angka I angka I I huruf I huruf I huruf I
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

Dengan syarat : Huruf B didepan, diikuti 3 angka dari 0 – 9 (angka 0 tidak boleh didepan), angka boleh berulang, sedangkan huruf dibelakang hanya T, S, R, dan U (huruf tidak boleh berulang). Banyak kemungkinan menyusun nomor kendaraan diwilayah tersebut adalah

Tolong bantuin saya!!

Jawaban Terkonfirmasi

Nomor 1
$largetext{$begin{aligned}frac{tanleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)}{tanleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}=boxed{,bf{-4},}end{aligned}$}$

Nomor 2
Banyak kemungkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah 21.600 kemungkinan.
 

Pembahasan

Nomor 1: Trigonometri

Kita memiliki identitas trigonometri:

$begin{aligned}bullet &sin A+sin B=2sinleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)cosleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)\bullet &sin A-sin B=2cosleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)sinleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)end{aligned}$

Maka,

$begin{aligned}&frac{sin A+sin B}{sin A-sin B}\&{= }frac{2sinleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)cosleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}{2cosleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)sinleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}\&{= }frac{sinleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)}{cosleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)}cdotfrac{cosleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}{sinleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}\&{= }tanleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)cdotfrac{1}{tanleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}end{aligned}$
$begin{aligned}&{= }frac{tanleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)}{tanleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}end{aligned}$

Oleh karena itu, dengan $dfrac{sin A}{sin B} =dfrac{3}{5} impliessin A=dfrac{3}{5}sin B$ , kita peroleh:

$begin{aligned}frac{tanleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)}{tanleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}&=frac{sin A+sin B}{sin A-sin B}\&=frac{dfrac{3}{5}sin B+sin B}{dfrac{3}{5}sin B-sin B}\&=frac{dfrac{8}{5}cancel{sin B}}{-dfrac{2}{5}cancel{sin B}}\&=-frac{8/cancel{5}}{2/cancel{5}}\therefore frac{tanleft(tfrac{1}{2}(A+B)right)}{tanleft(tfrac{1}{2}(A-B)right)}&=boxed{,bf{-4},}end{aligned}$

$blacksquare$

Nomor 2: Kaidah Pencacahan

Sesuai spesifikasi nomor kendaraan pada soal, ilustrasi banyak kemungkinan untuk setiap posisi huruf dan angka pada nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah:

$Largetext{$begin{aligned}boxed{1} boxed{9}boxed{10}boxed{10} boxed{4}boxed{3}boxed{2}end{aligned}$}$

Huruf awal hanya ada 1 kemungkinan.
Posisi 3 angka di tengah, terdapat 9×10×10 kemungkinan.
Posisi 3 huruf terakhir, karena tersedia 4 huruf dan tidak boleh berulang, terdapat 4×3×2 kemungkinan.

Sehingga, banyak kemungkinan menyusun nomor kendaraan di wilayah tersebut adalah:

1×9×10×10×4×3×2
= 9×100×24
= 21.600 kemungkinan.

$blacksquare$