2n+1 adalah bilangan genap untuk n adalah bilangan asli

Jawaban:

Pembuktian penjumlahan n bilangan genap positif adalah n² + n dengan induksi matematika.

Berikut langkah – langkah pembuktian:

Misalkan P(n) adalah 2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2n = n² + n

P(n) benar untuk n = 1

P(n) benar untuk n = k + 1 atau 2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2(k+ 1) = (k + 1)² + (k + 1) bernilai benar

Sehingga diperoleh bahwa penjumlahan n bilangan genap positif adalah n² + n.

Simak pembahasan berikut.

Pembahasan

Akan dibuktikan penjumlahan n bilangan genap positif adalah n² + n

n merupakan bilangan genap positif, maka

n = 2, 4, 6, 8, …..

Pola yang terbentuk dari barisan bilangan genap adalah

2     4       6     8 ..

  +2   +2    +2

Diketahui:

a = 2 dan b = 2

Karena merupakan barisan penjumlahan, maka barisan bilangan genap merupakan barisan aritmatika. Besar suku ke- n barisan tersebut adalah

Un = a + (n – 1)b

Un = 2 + (n – 1)2

Un = 2 + 2n – 2

Un = 2n

Penjumlahan n bilangan genap positif dapat ditulis sebagai berikut:

2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2n = n² + n

Misalkan P(n) adalah 2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2n = n² + n

Langkah 1:

Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = 1

2n = n² + n

2(1) = (1)² + 1

2 = 1 + 1

2 = 2

Ruas kiri = ruas kanan

Oleh karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka P(n) benar untuk n = 1

Langkah 2:

Asumsikan P(n) benar untuk n = k, yaitu 2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2k = k² + k bernilai benar. Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1 yakni:

2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)² + (k + 1)

2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2k = k² + k

2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2k + 2(k + 1) = k² + k + 2(k + 1)

(k + 1)² + (k + 1) = k² + k + 2(k + 1)

(k + 1)² + (k + 1) = k² + k + 2k + 2

(k + 1)(k + 1) + (k + 1) = k² + 3k + 2

(k + 1)(k + 1 + 1) = k² + 3k + 2

(k + 1)(k + 2) = k² + 3k + 2

(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka 2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)² + (k + 1) bernilai benar.

Karena langkah (1) dan (2) terpenuhi, maka terbukti bahwa 2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2n = n² + n benar untuk setiap n bilangan asli. Terbukti bahwa penjumlahan n bilangan genap positif adalah n² + n

Pelajari lebih lanjut

Membuktikan deret bilangan dengan induksi matematika brainly.co.id/tugas/23250583

Pembuktian dengan induksi matematika brainly.co.id/tugas/23259182

—————————————————-

Detil jawaban

Kelas: 11

Mapel: Matematika

Bab: Induksi matematika

Kode: 11.2.2

Kata kunci: pembuktian, jumlah, n bilangan, genap