Jelaskan dan beri contoh soal tentang SPKDV (sistem persamaan kuadrat dua variabel) dan SPtdKDV (sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel) !

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pada bagian sebelumnya, kalian telah mempelajari persamaan dan
pertidaksamaan linier. Pada bagian ini, kalian akan mempelajari
persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Persamaan dan pertidaksamaan
kuadrat ditandai dengan variabelnya berpangkat tertinggi dua.
 
a.      Persamaan KuadratPersamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang
menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari peubahnya
(variabelnya) adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah  ax2 + bx + c = 0  dengan a, b, c  bilangan riil dan  a  0.
1)      Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Sama seperti pada sistem persamaan linier, nilai – nilai yang
memenuhi persamaan kuadrat disebut penyelesaian dari persamaan kuadrat
tersebut yang dikenal juga dengan istilah akar – akar persamaan kuadrat.
Agar kalian lebih memahami penentuan himpunan penyelesaian dari
persamaan kuadrat, perhatikan dengan baik contoh – contoh berikut ini :
 
Contoh 3.3
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut :




x2 – 9 = 02×2 – 5x – 3 = 0x2 – 5x + 6 = 0x2 – 6x + 9 = 0




 
Jawab :




x2 – 9 = 0
(x + 3)(x – 3) = 0
x + 3 = 0  atau  x – 3 = 0
x = –3  atau  x = 3
Sehingga penyelesaiannya adalah  =  {–3, 3}
2×2 – 5x – 3 = 0
(2x + 1)(x – 3) = 0
2x + 1 = 0  atau  x – 3 = 0
2x = –1  atau  x = 3
x = – ½  atau  x = 3
Sehingga penyelesaiannya adalah  =  {– ½, 3}

x2 – 5x + 6 = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
x – 2 = 0  atau  x – 3 = 0
x = 2  atau  x = 3
Sehingga penyelesaiannya adalah  =  {2, 3}
x2 – 6x + 9 = 0
(x – 3)(x – 3) = 0
x – 3 = 0  atau  x – 3 = 0
x = 3  atau  x = 3
Sehingga penyelesaiannya adalah  =  {3}



 
2)      Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar – Akar dari Persamaan Kuadrat
Jika  x1 dan x2  adalah akar – akar persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0  maka pada persamaan kuadrat tersebut akan berlaku sifat seperti berikut :




 dan




Agar kalian lebih dapat memahami kedua sifat dari akar – akar persamaan kuadrat ini, perhatikan dengan baik contoh di bawah ini.
 
Contoh 3.4
Jika x1 & x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat 2×2 – 4x + 3 = 0 maka tentukan nilai dari :

 
Jawab :
2×2 – 4x + 3 = 0 ;   a = 2, b = –4, c = 3



 




 
3)      Menyusun Persamaan Kuadrat
Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari suatu persamaan
kuadrat dan sifat – sifat dari persamaan kuadrat. Pada bagian ini akan
kalian pelajari cara menyusun persamaan kuadrat. Agar kalian lebih
memahaminya, perhatikan uraian berikut dengan baik.
Jika x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan kuadrat, maka dapat disusun persamaan kuadrat dengan rumus :
(x – x1)(x – x2) = 0  atau  x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
 
Contoh 3.5
Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya 3 dan –2.
 
Jawab :
x1 = 3  dan  x2 = –2  maka



(x – x1).(x – x2) = 0
(x – 3).(x + 2) = 0
x2 + 2x – 3x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0



 
Contoh 3.4
Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui jumlah akar – akarnya 2 dan hasil kali akar – akarnya –15.Jawab :
x1 + x2 = 2  dan x1.x2 = –15  maka :
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
x2 – (2)x + (–15) = 0
x2 – 2x – 15 = 0
 
Jika  dan  merupakan akar – akar persamaan  x2 + 3x – 4 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya :


 
a)      ( – 2) dan ( – 2)
b)       dan



Jawab :
a)      x2 + 3x – 4 = 0  maka didapat  a = 1, b = 3, c = –4
Misalkan  x1 = – 2  dan  x2 = – 2  maka :
x1 + x2 = ( – 2) + ( – 2) = ( ) – 4 = –3 – 4 = –7
x1.x2 = ( – 2)( – 2) = – – + 4
= – 2 + 4 = –4 – 2(–3) + 4 = –4 + 6 + 4 = 6
b)      x2 + 3x – 4 = 0  maka didapat  a = 1, b = 3, c = –4
Misalkan  x1 =  dan  x2 =



x1 + x2 = +
= ( + )
= (–3) = –1
x1 . x2 =
= ( . )
= (–4) =



 
b)      Pertidaksamaan Kuadrat
Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari persamaan kuadrat,
pada bagian ini akan kalian pelajari pertidaksamaan kuadrat. Bentuk umum
dari pertidaksamaan kuadrat yang akan kita bahas dalam bahasan ini
adalah sebagai berikut :




ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c  0


ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c  0




Nilai – nilai yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat disebut
penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat. Agar kalian memahami dalam
menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat, perhatikan dengan
baik contoh berikut :
 
Contoh 3.7
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan kuadrat berikut :



1)      x2 – 6x + 5 < 0
2)      x2 – 6x + 5  0
3)      x2 – 6x + 5  0
4)      x2 – 6x + 5 > 0



 
Jawab :
1)      x2 – 6x + 5 < 0
x2 – 6x + 5 = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x – 1 = 0  atau  x – 5 = 0
x = 1  atau  x = 5
+++ +——–++++
1        5
Jadi  HP = { x│1 < x < 5, x  R }
2)      x2 – 6x + 5  0
x2 – 6x + 5  0
(x – 1)(x – 5) = 0
x – 1 = 0  atau  x – 5 = 0
x = 1  atau  x = 5
+++ +——–++++
1        5
Jadi  HP = { x│1  x  5, x  R }
3)      x2 – 6x + 5  0
x2 – 6x + 5 = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x – 1 = 0  atau  x – 5 = 0
x = 1  atau  x = 5
+++ +——–++++
1        5
Jadi  HP = { x│x  1 atau x  5, x  R }
4)      x2 – 6x + 5 > 0
x2 – 6x + 5 = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x – 1 = 0  atau  x – 5 = 0
x = 1  atau  x = 5
+++ +——–++++
1        5
Jadi  HP = { x│x < 1 atau x > 5, x  R }