A merupakan bayangan titik A(3, 5) oleh rotasi sebesar 90⁰ berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis y = x. Koordinat titik A adalah ....*

$bold{underline{Rules : :}}$
$✎ : No : Calcu : ☑$
$✎: No : bahasa : alien : ☑︎$
$✎ : No : Jawab : Dikomen : ☑︎$
$✎ : Memakai : Cara : ☑︎$

A merupakan bayangan titik A(3, 5) oleh rotasi sebesar 90⁰ berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis y = x. Koordinat titik A adalah ….*

Pendahuluan:

Untuk menjawab soal geometri transformasi linear pada bidang $mathbb{R}^2$ kita bisa melihat dua titik yang dinamakan "basis standar" pada $mathbb{R}^2$ . Titik-titik ini adalah

$vec{e}_1 = begin{bmatrix}1 \0end{bmatrix} text{ dan } vec{e}_2 = begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix}$

Semua transformasi (linear) pada sembarang titik $vec{v}$ di $mathbb{R}^2$ dapat direpresentasikan sebagai matriks $M$ . Matriks transformasi ini selalu berbentuk

$M = [ Mvec{e}_1 | Mvec{e}_2 ]$

Dimana $Mvec{e}_1$ adalah vektor kolom bayangan dari $vec{e_1}$ apabila ditransformasikan $M$ , dan

$Mvec{e}_2$ adalah vektor kolom bayangan dari $vec{e_2}$ apabila ditransformasikan $M$ .

nanti, bayangan dari $vec{v}$ yang ditransformasikan dapat dicari dengan mencari vektor

$vec{y} = M vec{v} = [Mvec{e}_1 | Mvec{e}_2 ] vec{v}$

(perkalian matriks dengan vektor).

Jawab:

Untuk mencari soal diatas, kita perlu cari dua matriks

Matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam
Matriks refleksi terhadap garis y = x.

Kemudian mencari bayangan dari $vec{v} = (3,5)$ yang dikenakan dua transformasi/matriks diatas.

1. Cari matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam :

untuk mencari matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam, namakan matriks $S$ . Perhatikan jika kita punya

$vec{e}_1 = begin{bmatrix}1 \0end{bmatrix} text{ dan } vec{e}_2 = begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix}$

maka

$S = [ Svec{e}_1 | Svec{e}_2 ] = left[Sbegin{bmatrix} 1\ 0end{bmatrix} Sbegin{bmatrix} 0\ 1end{bmatrix} right]$

jika kita rotasikan $vec{e}_1 = begin{bmatrix}1 \0end{bmatrix}$ terhadap $S$ didapat

$Svec{e}_1 = S begin{bmatrix}1 \0end{bmatrix} = begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix}$

jika kita rotasikan $vec{e}_2 = begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix}$ terhadap $S$ didapat

$Svec{e}_2 = S begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix} = begin{bmatrix}-1\0end{bmatrix}$

Akibatnya matriks $S$ didapat sebagai

$S = [ Svec{e}_1 | Svec{e}_2 ] = left[Sbegin{bmatrix} 1\ 0end{bmatrix} Sbegin{bmatrix} 0\ 1end{bmatrix} right] = begin{bmatrix} 0 & -1\ 1 & 0end{bmatrix}$

2. Cari matriks refleksi terhadap garis y = x.

untuk mencari matriks refleksi terhadap garis y = x, namakan matriks $T$ . Perhatikan jika kita punya

$vec{e}_1 = begin{bmatrix}1 \0end{bmatrix} text{ dan } vec{e}_2 = begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix}$

maka

$T = [ Tvec{e}_1 | Tvec{e}_2 ] = left[Tbegin{bmatrix} 1\ 0end{bmatrix} Tbegin{bmatrix} 0\ 1end{bmatrix} right]$

jika kita refleksikan $vec{e}_1 = begin{bmatrix}1 \0end{bmatrix}$ terhadap $T$ didapat

$Tvec{e}_1 = T begin{bmatrix}1 \0end{bmatrix} = begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix}$

jika kita refleksikan $vec{e}_2 = begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix}$ terhadap $T$ didapat

$Tvec{e}_2 = T begin{bmatrix}0 \1end{bmatrix} = begin{bmatrix}1\0end{bmatrix}$

Akibatnya matriks $T$ didapat sebagai

$T = [ Tvec{e}_1 | Tvec{e}_2 ] = left[Tbegin{bmatrix} 1\ 0end{bmatrix} Tbegin{bmatrix} 0\ 1end{bmatrix} right] = begin{bmatrix} 0 & 1\ 1 & 0end{bmatrix}$

Bayangan dari $vec{v} = (3,5)$

Untuk mencari bayangan dari $vec{v} = (3,5)$ pertama kita harus lakukan rotasi (kalikan dengan $S$ ) terlebih dahulu, lalu refleksikan (kalikan dengan $T$ )

Akibatnya, bayangan dari $vec{v} = (3,5)$ adalah $vec{y}$ , dimana

$vec{y} = T (S vec{v})$

kita kalikan $Svec{v}$ terlebih dahulu karena kita rotasi terlebih dahulu!

akibatnya

$vec{y} = begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0end{bmatrix} begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0end{bmatrix} vec{v} = begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0end{bmatrix} begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0end{bmatrix} begin{bmatrix} 3\5 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -3\5 end{bmatrix}$

Jadi bayangan dari $vec{v} = (3,5)$ adalah $vec{y} = (-3,5)$ .