21. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran x^2+y^2-6x-8y+20 = 0 adalah....

Mohon bantuannya dengan menggunakan jalannya

21. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran x^2+y^2-6x-8y+20 = 0 adalah….

Jawaban Terkonfirmasi

Persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran $x^2+y^2-6x-8y+20=0$ adalah $2y+xsqrt{5}-8=0~~atau~~2y-xsqrt{5}-8=0$

PEMBAHASAN

Terdapat dua jenis persamaan garis singgung pada lingkaran, yaitu garis singgung yang ditarik dari titik pada lingkaran dan garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran.

Dengan menggunakan syarat D = 0, kita bisa mencari garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran.

DIKETAHUI

Dari titik (0,4) akan ditarik garis singgung ke lingkaran $x^2+y^2-6x-8y+20=0$

DITANYA

Tentukan persamaan garis singgungnya.

PENYELESAIAN

> Cek kedudukan titik A(3,2) terhadap lingkaran

Substitusi (0,4) ke persamaan lingkaran

$(0)^2+(4)^2-6(0)-8(4)+20=0\\16-32+20=0\4>0$

Karena hasilnya > 0 maka titik (0,4) berada di luar lingkaran.

> Tentukan persamaan garis singgungnya.

Misal persamaan garis singgungnya adalah $y-b=m(x-a)$ .

Karena melalui titik (0,4) maka memenuhi :

$y-4=m(x-0)\\y=mx+4~~~~~~~~~...(i)$

Substitusikan persamaan (i) kedalam lingkaran

$x^2+y^2-6x-8y+20=0\\x^2+(mx+4)^2-6x-8(mx+4)+20=0\\x^2+m^2x^2+8mx+16-6x-8mx-32+20=0\\(m^2+1)x^2-6x+4=0\\Merupakan~bentuk~persamaan~kuadrat~dengan~\\a=m^2+1\\b=-6\\c=4$

Syarat lingkaran dan garis bersinggungan adalah D = 0

$b^2-4ac=0\\(-6)^2-4(m^2+1)(4)=0\\36-16m^2-16=0\\16m^2=20\\m^2=frac{5}{4}\\m=pmsqrt{frac{5}{4}}\\m=pmfrac{sqrt{5}}{2}\\m=-frac{sqrt{5}}{2}~~atau~~m=frac{sqrt{5}}{2}$