⁴ log cosx + (⁴ log cosx) ² + (⁴ log cosx)³ + ... = - ⅓ maka untuk - π/2 ⩽ x ⩽ 0, sin 2x + cos 2x = ...

a. ½(√3 – 1)
b. -½ (√3 + 3)
c. 1
d. ½ (√3 – 3)
e. -½ (1 + √3)

⁴ log cosx + (⁴ log cosx) ² + (⁴ log cosx)³ + … = – ⅓ maka untuk – π/2 ⩽ x ⩽ 0, sin 2x + cos 2x = …

Diketahui :

$log_4(cos (x))+(log_4(cos(x)))^2+(log_4(cos(x)))^3+(log_4(cos(x)))^4+...=-frac{1}{3}$

Dengan syarat interval :

$-frac{pi}{2}leq xleq0\(-90°leq xleq0)$

Ditanya :

$sin(2x)+cos(2x)=,,???$

Jawaban :

Catatan!

Deret Geometri Tak Hingga.

$S_infty=a+an+an^2+an^3+an^4+...=frac{a}{1-r}$

Dengan syarat :

-) Sifat deret : Konvergen

-) $r=frac{an}{a}=frac{an^2}{an}=frac{an^3}{an^2}=...$

-) r berbentuk pecahan atau Interval nilai r berada di antara 0 dan 1.

$0$

Selain itu, kita butuh Identitas Trigonometri

$sin^2(x)+cos^2(x)=1\\cos^2(x)=1-sin^2(x)\\sin^2(x)=1-cos^2(x)$

Let's get started!

$log_4(cos (x))+(log_4(cos(x)))^2+(log_4(cos(x)))^3+...=-frac{1}{3}\\log_4(cos (x))+(log_4(cos(x)))^2+...=-frac{1}{3}\--------------------,S_infty=a+an^2+an^3+...=frac{a}{1-r}\--------------------,a=r=log_4(cos (x))\frac{log_4(cos (x))}{1-log_4(cos (x))}=-frac{1}{3}$

$frac{log_4(cos (x))}{1-log_4(cos (x))}=-frac{1}{3}\------------------,*3(1-log_4(cos(x)))\3log_4(cos (x))=-(1-log_4(cos (x)))\\3log_4(cos (x))=-1+log_4(cos (x))\\2log_4(cos (x))=-1\------------,*frac{1}{2}\log_4(cos (x))=-frac{1}{2}\------------,(...)_1=(...)_2to 4^{(...)_1}=4^{(...)_2}\4^{log_4(cos (x))}=4^{-frac{1}{2}}$

$4^{log_4(cos (x))}=4^{-frac{1}{2}}\------------,4^{log_4(cos (x))}=cos(x)\cos(x)=4^{-frac{1}{2}}\------------,4^{-frac{1}{2}}=frac{1}{sqrt{4}}=frac{1}{2}\cos(x)=frac{1}{2}$

Mencari nilai sin(x)

$cos(x)=frac{1}{2}\------------,(...)=(...)to (...)^2=(...)^2\(cos(x))^2=(frac{1}{2})^2\\cos^2(x)=frac{1}{4}\------------,cos^2(x)=1-sin^2(x)\1-sin^2(x)=frac{1}{4}\\1-frac{1}{4}=sin^2(x)\\frac{4}{4}-frac{1}{4}=sin^2(x)\\frac{3}{4}=sin^2(x)\------------,a=bto b=a\sin^2(x)=frac{3}{4}\------------,(...)_1=(...)_2tosqrt{(...)_1}=sqrt{(...)_2}\sqrt{sin^2(x)}=sqrt{frac{3}{4}}$

$sqrt{sin^2(x)}=frac{1}{2}sqrt{3}\------------,sqrt{sin^2(x)}=±sin(x)\±sin(x)=frac{1}{2}sqrt{3}\\sin(x)=±frac{1}{2}sqrt{3}$

Kita telah mendapatkan nilai sin(x). Jadi… mana nilai sin(x) yang harus di ambil?

Nilai sin(x) yang diambil harus sesuai dengan interval yang sudah dijelaskan sebelumnya, yaitu :

$-frac{pi}{2}leq xleq0\(-90°leq xleq0)$

Wilayah yang dimaksud itu merupakan wilayah kuadran IV (yang juga berinterval $270°leq xleq360°$ ) yang memiliki nilai cos(x) bernilai positif (+) dan nilai sin(x) bernilai negatif (-). Jadi, kita ambil nilai sin(x) yang bernilai negatif (-).

$sin(x)=-frac{1}{2}sqrt{3}$

Jadi, sudah kita temukan nilai-nilai yang telah kita cari.

$cos(x)=frac{1}{2}\sin(x)=-frac{1}{2}sqrt{3}$

Maka, berapa nilai yang ditanyakan berikut?

$sin(2x)+cos(2x)=,,???$

Catatan tambahan!

$sin(2x)=2sin(x)cos(x)\\cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=1-2sin^2(x)=2cos^2(x)-1$

Ayo, kita selesaikan ini!

$sin(2x)+cos(2x)=,,???\-------------------,sin(2x)=2sin(x)cos(x)\-------------------,cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)\2sin(x)cos(x)+cos^2(x)-sin^2(x)\-------------------,cos(x)=frac{1}{2},,sin(x)=-frac{1}{2}sqrt{3}\=2(frac{1}{2})(-frac{1}{2}sqrt{3})+(frac{1}{2})^2-(-frac{1}{2}sqrt{3})^2\\=-frac{1}{2}sqrt{3}+frac{1}{4}-frac{3}{4}\\=-frac{1}{2}sqrt{3}-frac{2}{4}\\=-frac{1}{2}sqrt{3}-frac{1}{2}\\=-frac{1}{2}(sqrt{3}+1)$

Jadi, nilai yang sedang ditanyakan itu adalah…

$e),,-frac{1}{2}(1+sqrt{3})$

Selesai!