Gimana sih cara mengerjakan pengaplikasian bilangan real?

Satu aplikasi 0,999… sebagai representasi 1 dapat terlihat pada teori bilangan
dasar. Pada tahun 1802, H. Goodwin mempublikasikan sebuah pengamatan
kemunculan 9 dalam representasi desimal berulang pecahan yang
penyebutnya merupakan bilangan prima tertentu. Sebagai contoh:
1/7 = 0,142857142857… dan 142 + 857 = 999.1/73 = 0,0136986301369863… dan 0136 + 9863 = 9999.E. Midy membuktikan hasil umum dari pecahan tersebut tahun 1836, dan sekarang disebut sebagai teorema Midy.
Publikasi awalnya tidak ditulis dengan jelas, dan tidakklah jelas
apakah pembuktiannya melibatkan 0,999…, namun paling tidak pembuktian
modern W. G. Leavitt ada melibatkannya. Jika seseorang dapat membuktikan
sebuah bilangan desimal dalam bentuk 0,b1b2b3… adalah sebuah bilangan bulat positif, maka itu haruslah 0,999…, yang merupakan sumber 9 dalam teorema itu Investigasi lebih lanjut dengan arah seperti ini dapat menghasilkan konsep pembagi persekutuan terbesar, aritmetik modular, bilangan prima Fermat, dan timbal balik kuadratik.
Kembali ke analisis real, analog basis 3 0,222… = 1 memainkan peran penting dalam karakterisasi himpunan Cantor:
Sebuah titik pada interval satuan
berada dalam himpunan Cantor jika dan hanya jika ia dapat
direpresentasikan ke dalam bilangan terner hanya dengan menggunakan
digit 0 dan 2.Digit ke-n representasi tersebut mencerminkan posisi titik tersebut pada tahap ke-n konstruksi. Sebagai contoh, titik ²⁄3
mempunyai representasi 0,2 atau 0,2000…, karena ia terletak di sebelah
kanan penghapusan pertama dan di sebelah kiri pada setiap penghapusan
selanjutnya. Titik 1⁄3 direpresentasikan tidak
sebagai 0,1, namun sebagai 0,0222…, karena ia berada di sebelah kiri
penghapusan pertama dan di sebelah kanan pada setiap penghapusan
selanjutnya.
Sembilan berulang juga terdapat dalam hasil kerja Georg Cantor
lainnya. Sembilan berulang ini harus dilibatkan dalam konstruksi
pembuktian absah ketaktercacahan interval satuan dengan menerapkan argumen diagonal Cantor
ke ekspansi desimal. Pembuktian seperti ini perlulah dapat menentukan
pasangan bilangan real tertentu sebagai bilangan yang berbeda
berdasarkan ekspansi desimalnya. Sehingga kita perlu menghindari
pasangan seperti 0,2 dan 0,1999….
Varian yang mungkin lebih dekat dengan argumen Cantor awal sebenarnya
menggunakan basis 2, dan dengan mengubah ekspansi basis 3 menjadi
ekspansi basis 2, seseorang juga dapat membuktikan ketaktercacahan
himpunan Cantor