Quiz - Universityku

.
Kenapa rumus untuk menghitung volume bola 4/3 × π × r³? Buktikan secara geometris jika Volume bola dapat menggunakan rumus tsb.
.
Telpon ahli geometri: @WillyJember, @Zzav, @jiazheng

Quiz

Misalkan terdapat sebuah lingkaran yang terletak pada bidang koordinat kartesius dengan jari-jari $=r~$ dan berpusat di titik O (0 , 0). Maka persamaan lingkaran tersebut adalah : $x^2+y^2=r^2$ . Kemudian lingkaran tersebut dijadikan menjadi ¼ lingkaran, dan ¼ lingkaran tersebut jika diputar 360° terhadap sumbu-X akan menghasilkan sebuah ½ bola. Karena yang akan dibuktikan adalah volume bola penuh, maka hasilnya akan dikalikan 2.

Persamaan lingkaran diubah dalam bentuk : $y^2=r^2-x^2$

Informasi tambahan terlampir…

$begin{array}{rcl}text{V}_{bola}&=&2pi.int limits_0^r~y^2~dx\~\&=&2pi.int limits_0^r~left(r^2-x^2right)~dx\~\&&{~x=r.sin~alpha~to~dx=r.cos~alpha~dalpha~}\~\&=&2pi.int limits_0^r~left(r^2-(r.sin~alpha)^2right)~(r.cos~alpha~dalpha)\~\&=&2pi.int limits_0^r~left(r^2-r^2.sin^2alpharight)~(r.cos~alpha~dalpha)\~\&=&2pi.int limits_0^r~left(r^2.left(1-sin^2alpharight)right)~(r.cos~alpha~dalpha)\~\&&{~rtext{~adalah~konstanta}~}\~\&=&2pi r^3.int limits_0^r~left(1-sin^2~alpharight)~(cos~alpha~dalpha)\~\&&{~text{misal~:~}u=sin~alpha~to~du=cos~alpha~dalpha~}\~\&=&2pi r^3.int limits_0^r~left(1-u^2right)~du\~\&=&2pi r^3.left[u-frac{1}{3}u^3right]_0^r\~\&&{~text{substitusikan~kembali~}u=sin~alpha~}\~\&=&2pi r^3.left[sin~alpha-frac{1}{3}.sin^3~alpharight]_0^r\~\&&{~text{substitusikan~kembali~}sin~alpha=frac{x}{r}~}\~\&=&2pi r^3.left[frac{x}{r}-frac{1}{3}.left(frac{x}{r}right)^3right]_0^r\~\&=&2pi r^3.left[left(frac{r}{r}-frac{1}{3}.left(frac{r}{r}right)^3right)-0right]\~\&=&2pi r^3.left[1-frac{1}{3}right]\~\&=&2pi r^3.left[frac{2}{3}right]end{array}$

$huge boxed{boxed{text{V}_{text{bola}}=frac{4}{3}pi r^3}}$

Gambar Jawaban