cari penyelesaian umum dari persamaan differensial dy/dx = -y² x (x² + 2 ) ⁴. kemudian tentukan penyelesaian khususnya untuk nilai y = 6 di x = 0

cari penyelesaian umum dari persamaan differensial dy/dx = -y² x (x² + 2 ) ⁴. kemudian tentukan penyelesaian khususnya untuk nilai y = 6 di x = 0

MATERI: PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 1

Jawaban:

$6{(x^2+2)}^5-60y^{-1}-91=0$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Soal:

$frac{dy}{dx}=-y^2x{(x^2+2)}^4$

di x = 0 dan y = 6

Metode penyelesaian PD bentuk tersebut yaitu dengan menggunakan PD terpisah dimana kita mengubah variabel yang berbeda menjadi variabel yang sama.

Pada soal, kita bisa melihat bahwa terdapat variabel y di ruas kanan, maka kita bisa langsung memindahkannya ke ruas kiri.

$begin{aligned}frac{dy}{dx}&=-y^2x{(x^2+2)}^4\frac{1}{y^2}frac{dy}{dx}&=-x{(x^2+2)}^4\y^{-2},dy&=-x{(x^2+2)}^4,dxend{aligned}$

Setelah sampai ke tahap ini, selanjutnya tinggal kita integral kan kedua ruas nya, sehingga akan diperoleh:

$begin{aligned}frac{dy}{dx}&=-y^2x{(x^2+2)}^4\frac{1}{y^2}frac{dy}{dx}&=-x{(x^2+2)}^4\y^{-2},dy&=-x{(x^2+2)}^4,dx\int{y^{-2},dy}&=-int{x{(x^2+2)}^4,dx}\-y^{-1}&=-frac{1}{10}{(x^2+2)}^5+C,(times,(-10))\10y^{-1}&={(x^2+2)}^5-10C\{(x^2+2)}^5-10y^{-1}-C=0end{aligned}$

Karena x = 0 dan y = 6, maka kita substitusi kan saja ke PD yang telah kita selesaikan tadi, sehingga:

$begin{aligned}{(0^2+2)}^5-10(6)^{-1}-C&=0\2^5-10left(frac{1}{6}right)&=C\32-frac{5}{3}&=C\frac{91}{6}&=Cend{aligned}$

Jadi, solusi khususnya adalah:

$6{(x^2+2)}^5-60y^{-1}-91=0$

Semoga membantu.