diketahui bahwa f(x) adalah fungsi kuadrat yang memenuhi pertidaksamaan x^2-2x+3 ≤f(x)≤2x^2-4x+4untuk semua bilangan real x .jika diketahui bahwa f(5)=26,maka f(7)=…
X² – 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x² – 4x + 4
perhatikan koefisien dari suku tertingginya,
x² ≤ f(x) ≤ 2x²
agar f(x) terdefinisi untuk semua bilangan real x, maka koefisien untuk x² harus berada di antara 1 dan 2.
Dalam kasus ini, supaya perhitungan menjadi mudah, kita ambil koefisien pangkat tertinggi untuk f(x) = 3/2, sehingga fungsinya menjadi :
f(x) = ax² + bx +
f(x) = 3/2 x² + bx + c
Agar terdefinisi di semua nilai real juga, puncak f(x) harus sama dengan puncak kedua kurva (karena kedua kurva memiliki titik puncak yang sama).
x² – 2x + 3 = 0
a = 1
b = -2
c = 3
x puncak = -b/2a
= -(-2)/2(1)
= 1
sekarang kita hitung puncak f(x)nya
f(x) = 3/2 x² + bx + c
-b/2(3/2) = 1
-b/3 = 1
-b = 3
b = -3
sehingga, persamaannya akan menjadi :
f(x) = 3/2 x² – 3x + c
f(5) = 3/2 (5)² – 3(5) + c
= 75/2 – 15 + c
75/2 – 15 + c = 26
c = 26 + 15 – 75/2
c = 41 – 75/2
c = 82/2 – 75/2
c = 7/2
sehingga, fungsinya akan menjadi :
f(x) = 3/2 x² – 3x + 7/2
f(7) = 3/2 (7)² – 3(7) + 7/2
= 147/2 – 21 + 7/2
= 56
misal : f (x) = ax² + bx + c
f (5) = a.5² + b .5 + c
26 = 25a + 5b + c ….. persamaan I
x² – 2x + 3 ≤ ax² + bx + c ≤ 2x² – 4x + 4 ….. (untuk semua x bil real)
dengan asumsi ketiganya mempunyai persamaan sumbu simetri yang sama yakni pada x = 1 … (sumbu simetri x = - b/2a = 1 ⇒ b = -2a) … maka
untuk x = 1
1² – 2 .1 + 3 ≤ a. 1² + b .1 + c ≤ 2 .1² – 4 . 1 + 4
2 ≤ a + b + c ≤ 2
sehingga : a + b + c = 2 …. elemenasi dengan pers I
25a +5b +c = 26
———————- -
-24a – 4b = – 24 … bagi dengan - 4
6a + b = 6
6a + (- 2a) = 6
4a = 6
a = 6/4
a = 3/2
b = – 2a
b = – 2 . 3/2
b = - 3
a + b + c = 2
3/2 – 3 + c = 2
– 3/2 + c = 2
c = 2 + 3/2
c = 7/2
jadi f (x) = 3/2 x² – 3x + 7/2
f (7) = 3/2 (7)² – 3 .(7) + 7/2
= 3/2 . 49 – 21 + 7/2
= 147/2 – 21 + 7/2
= 154/2 – 21
= 77 – 21
= 56