Tolong dong kakak-kakak cuma nomor 4,6

Tolong dong kakak-kakak cuma nomor 4,6

$pink{huge{boxed{boxed{orange{bf PENDAHULUAN}}}}}$

Pengertian

Induksi matematika adalah metode pembuktian suatu rumus atau pernyataan matematika bahwa pernyataan tersebut berlaku pada setiap bilangan asli.

Langkah-langkah induksi matematika :

Buktikan bahwa n = 1 benar.
Asumsikan bahwa n = k juga benar.
Buktikan bahwa n = k + 1 juga benar.

$pink{huge{boxed{boxed{orange{bf PEMBAHASAN}}}}}$

Nomor 4

$dfrac{1}{1.3}+dfrac{1}{3.5}+dfrac{1}{5.7}+dfrac{1}{7.9}+...+dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=dfrac{n}{2n+1}$

$sf{1).~Buktikan~n=1~benar}$

$begin{aligned}S_n&=dfrac{n}{2n+1}\\S_1&=dfrac{1}{2.1+1}\\dfrac{1}{1.3}&=dfrac{1}{2+1}\\dfrac{1}{3}&=dfrac{1}{3}~~sf{(benar)}end{aligned}$

$2).~sf{Asumsikan~n=k~juga~benar}$

$dfrac{1}{1.3}+dfrac{1}{3.5}+dfrac{1}{5.7}+dfrac{1}{7.9}+...+dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=dfrac{k}{2k+1}$

$3).~sf{Buktikan~n=k+1~juga~benar}$

$dfrac{1}{1.3}+dfrac{1}{3.5}+dfrac{1}{5.7}+dfrac{1}{7.9}+...+dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}+dfrac{1}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}=dfrac{k+1}{2(k+1)+1}$

$dfrac{1}{1.3}+dfrac{1}{3.5}+dfrac{1}{5.7}+dfrac{1}{7.9}+...+dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}+dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=dfrac{k+1}{2k+3}$

$dfrac{k}{2k+1}+dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=dfrac{k+1}{2k+3}$

$dfrac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}=dfrac{k+1}{2k+3}$

$dfrac{2k^{2} +3k+1}{(2k+1)(2k+3)}=dfrac{k+1}{2k+3}$

$dfrac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=dfrac{k+1}{2k+3}~implies 2k+1~dibagi~sesamanya$

$dfrac{k+1}{2k+3}=dfrac{k+1}{2k+3}~~bf{(TERBUKTI)}$

Nomor 6

$1).~sf{Buktikan~n=1~benar}$

$P(1) =(a^n-b^n)\P(1)=(a^1-b^1)\P(1)=(a-b)$

$tt{(a-b)~Jelas~habis~dibagi~(a-b)}~sehingga~n=1~benar.$

$2).~sf{Asumsikan~n=k~juga~benar}$

$P(k)=(a^k-b^k)\\(a^k-b^k)~habis~dibagi~(a-b)\tt{Asumsikan~bahwa~pernyataan~tersebut~ benar.}$

$3).~sf{Buktikan~n=k+1~juga~benar}$

$begin{aligned}P(k+1)&=(a^{k+1}-b^{k+1})\P(k+1)&=a^k.a-b^k.b+0\P(k+1)&=a^k.a-b^k.b+(b^k.a-b^k.a)\P(k+1)&=a^k.a-b^k.b+b^k.a-b^k.a\P(k+1)&=a^k.a-b^k.a-b^k.b+b^k.a\P(k+1)&=a(a^k-b^k)+b^k(a-b)~~bf{(TERBUKTI)}end{aligned}$

$tt{Terbukti~habis~dibagi~(a-b)~karena :}$

$bullet~sf{a(a^k-b^k)~habis~dibagi~(a-b)~berdasarkan~n=k}\bullet~b^k(a-b)~jelas~habis~dibagi~(a-b)~karena~kelipatannya, b^k(a-b)div(a-b)=b^k$

$pink{huge{boxed{boxed{orange{bf PELAJARI~LEBIH~LANJUT}}}}}$

Soal lain tentang induksi matematika :

Buktikan bahwa 10 pangkat n – 1 habis dibagi 9 : brainly.co.id/tugas/17563295
2ⁿ ≥ 2n, untuk setiap n bilangan asli : brainly.co.id/tugas/30676623
Tentukan jumlah n suku pertama dari 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) : brainly.co.id/tugas/4665117

$pink{huge{boxed{boxed{orange{bf DETAIL~JAWABAN}}}}}$

Kelas : 11

Mapel : Matematika

Materi : Induksi Matematika

Kode Kategorisasi : 11.2.2

Kata Kunci : Pembuktian rumus dengan induksi matematika