Cobalah untuk membuktikan pernyataan n^4−n^2 habis dibagi 12 untuk semua bilangan asli n dengan menggunakan induksi matematis kuat.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Akan ditunjukkan bahwa n^4-n^2 habis dibagi 12 untuk ∀n∈ℕ dengan induksi kuat.

Untuk n=1, 1^4-1^2=0, habis dibagi 12.

Asumsikan untuk ∀j∈ℕ, 1≤j≤k, j^4-j^2 habis dibagi 12. Akan ditunjukkan bahwa (k+1)^4-(k+1)^2 habis dibagi 12.

(k+1)^4-(k+1)^2=

k^4+4k^3+5k^2+2k=

(k^4-k^2)+(4k^3+6k^2+2k)=

12m + (4k^3+6k^2+2k) berdasarkan Hipotesis Induksi, m∈ℤ.

Akan ditunjukkan bahwa (4n^3+6n^2+2n) habis dibagi 12 ∀n∈ℕ.

Untuk n=1, 4+6+2=12 (habis dibagi 12)

Asumsikan benar untuk n=k, Akan ditunjukkan bahwa untuk n=k+1 juga benar.

4(k+1)^3 + 6(k+1)^2 + 2(k+1)=

4k^3+18k^2+26k+12=

4k^3 + (6+12)k^2 + (2+24)k + 12=

(4k^3+6k^2+2k) + (12k^2+24k+12)=

12a + 12(k^2+2k+1) berdasarkan Hipotesis Induksi, a∈ℤ

= 12a + 12b, a,b∈ℤ

= 12c, c∈ℤ (habis dibagi 12)

∴ (4n^3+6n^2+2n) habis dibagi 12 ∀n∈ℕ

Karena 4n^3+6n^2+2n habis dibagi 12, maka :

12m + (4k^3+6k^2+2k) =

12m + 12p, p∈ℤ =

12r, r∈ℤ (habis dibagi 12).

Maka (k+1)^4-(k+1)^2 habis dibagi 12.

Pembuktian dengan induksi kuat selesai.

∴ n^4-n^2 habis dibagi 12 untuk ∀n∈ℕ

(Note: meskipun saya pakai induksi kuat, hipotesis yang terpakai oleh saya untuk pembuktian ini sama seperti saat menggunakan induksi biasa.)