1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini. Dengan

Pembahasan

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara memfaktorkan!

a. x² + 7x + 10 = 0

x² + 2x + 5x + 10 = 0

x(x + 2) + 5(x + 2) = 0

(x + 2)(x + 5) = 0

∴ Akar-akarnya adalah x = -2 atau x = -5

b, 2x² + 7x – 4 = 0

2x² + 8x – x – 4 = 0

2x(x + 4) – (x + 4) = 0

(2x – 1)(x + 4) = 0

∴ Akar-akarnya adalah x = -4 atau boxed{~x = frac{1}{2}~}

x=

2

1

.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna!

a. x² + 6x = 16

x² + 6x + 9 = 16 + 9 ⇒ 9 berasal dari boxed{~Big(frac{6}{2}Big)^2~}

(

2

6

)

2

(x + 3)(x + 3) = 25

(x + 3)² = 25

boxed{~x+3=pmsqrt{25}~}

x+3=±

25

x + 3 = ± 5 ⇒ x = -3 – 5 atau x = -3 + 5

∴ HP = {-8, 2}

b. x² + 8x = 20

x² + 8x + 16 = 20 + 16 ⇒ 16 berasal dari boxed{~Big(frac{8}{2}Big)^2~}

(

2

8

)

2

(x + 4)(x + 4) = 36

(x + 4)² = 36

boxed{~x+4=pmsqrt{36}~}

x+4=±

36

x + 4 = ± 6 ⇒ x = -4 – 6 atau x = -4 + 6

∴ HP = {-10, 2}

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus abc!

boxed{~x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}~}

x=

2a

−b±

b

2

−4ac

a. x² + 6x + 8 = 0 ⇒ a = 1, b = 6, dan c = 8

boxed{~x=frac{-6pmsqrt{6^2-4(1)(8)}}{2(1)}~}

x=

2(1)

−6±

6

2

−4(1)(8)

boxed{~x=frac{-6pm 2}{2}~} to boxed{~x=frac{-6-2}{2}~}~atau~boxed{~x=frac{-6+2}{2}~}

x=

2

−6±2

→

x=

2

−6−2

atau

x=

2

−6+2

∴ HP = {-4, -2}

b. 2x² + 5x – 3 = 0 ⇒ a = 2, b = 5, dan c = -3

boxed{~x=frac{-5pmsqrt{5^2-4(2)(-3)}}{2(2)}~}

x=

2(2)

−5±

5

2

−4(2)(−3)

boxed{~x=frac{-5pm 7}{4}~} to boxed{~x=frac{-5-7}{4}~}~atau~boxed{~x=frac{-5+7}{4}~}

x=

4

−5±7

→

x=

4

−5−7

atau

x=

4

−5+7

∴ HP = {-3, ¹/₂}

4. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya berikut!

a. 3 dan 4 sebagai x₁ dan x₂.

Rumus persamaan kuadrat baru dengan akar-akar x₁ dan x₂ adalah boxed{~x^2 – (x_1+x_2)x + x_1x_2=0~}

x

2

−(x

1

+x

2

)x+x

1

x

2

=0

.

x₁ + x₂ = 3 + 4 = 7 dan x₁ · x₂ = 3 · 4 = 12

Dapat juga menggunakan boxed{~(x-x_1)(x-x_2)=0~}

(x−x

1

)(x−x

2

)=0

, yakni (x – 3)(x – 4) = 0 dan selanjutnya x² – 3x – 4x + 12 = 0.

∴ Persamaan kuadrat baru adalah x² – 7x + 12 = 0.

b. ¹/₂ dan -5 sebagai x₁ dan x₂.

boxed{~x_1 + x_2 = frac{1}{2} – 5 = -frac{9}{2}~}~dan~boxed{~x_1cdot x_2= frac{1}{2}times (-5)=frac{5}{2}~}

x

1

+x

2

=

2

1

−5=−

2

9

dan

x

1

⋅x

2

=

2

1

×(−5)=

2

5

boxed{~x^2 – Big(-frac{9}{2}Big)x + frac{5}{2}=0~}

x

2

−(−

2

9

)x+

2

5

=0

lalu kedua ruas dikalikan 2,

∴ Persamaan kuadrat baru adalah 2x² + 9x + 5 = 0.

5. Jika akar-akar persamaan kuadrat x² – 6x + 9 = 0 adalah p dan q, maka tentukan nilai-nilai berikut tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat terlebih dahulu!

a. boxed{~p + q =-frac{b}{a}=-frac{-6}{1}=6~}

p+q=−

a

b

=−

1

−6

=6

b. boxed{~p cdot q =frac{c}{a}=frac{9}{1}=9~}

p⋅q=

a

c

=

1

9

=9

c. boxed{~p^2+q^2=(p+q)^2-2pq~}

p

2

+q

2

=(p+q)

2

−2pq

p² + q² = (6)² – 2(9) = 18

d. boxed{~frac{1}{p}+frac{1}{q} = frac{p+q}{pq}=frac{6}{9} = frac{2}{3}~}

p

1

+

q

1

=

pq

p+q

=

9

6

=

3

2

e. boxed{~frac{p}{q} + frac{q}{p} = frac{p^2+q^2}{pq}=frac{18}{9} = 2~}

q

p

+

p

q

=

pq

p

2

+q

2

=

9

18

=2