buktikan dengan prinsip induksi matematika ketidaksamaan untuk setiap bilangan asli n, 2n < (n+2)
jawaban:
Pada kenyataan, terdapat tiga langkah dalam induksi matematika agar dapat membuktikan apakah suatu rumus atau pernyataan dapat bernilai benar atau justru sebaliknya.
Langkah-langkah tersebut adalah:
Membuktikan suatu pernyataan atau rumus benar untuk n = 1.
Mengasumsikan yang dapat menjelaskan melalui induksi matematika. Oleh karena itu, induksi matematika menjadi tiga jenis
Ada sifat-sifat yang sering digunakan dalam penyelesaian induksi matematika jenis pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah:
a> b> c ⇒ a> c atau a <b <c ⇒ a <c
a <b dan c> 0 ⇒ ac <bc atau a> b dan c> 0 ⇒ ac> bc
a <b ⇒ a + c <b + c atau a> b ⇒ a + c> b + c
Deret
Contoh 1
Buktikan 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), untuk setiap n bilangan asli.
Jawab:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Akan dibuktikan n = (n) benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n = (1) benar
2 = 1 (1 + 1)
Jadi, P (1) benar
Langkah Kedua :
Asumsikan n = (k) benar yaitu
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Langkah Ketiga
Akan ditunjukkan n = (k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Dari asumsi:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan u k + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1 ) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1 ) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Jadi, n = (k + 1) benar
Contoh 2
Gunakanlah induksi matematika untuk membuktikan persamaan
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n 2 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Jawab:
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n = (1) benar
S1 = 1 = 1 2
Langkah Kedua
Asumsikan bahwa n = (k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 +7 + … + 2 (k) -1 = k 2
1 + 3 + 5 +7 + … + (2k-1) = k 2
Langkah Ketiga
Buktikan bahwa n = (k + 1) adalah benar
1 + 3 + 5 +7 + … + (2k-1) + [2 (k + 1) – 1] = (k + 1) 2
ingat bahwa 1 + 3 + 5 +7 + … + (2k-1) = k 2
maka
k 2 + [2 (k + 1 ) – 1] = (k + 1) 2
k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
maka persamaan di atas terbukti
Contoh 3
Buktikan 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) = n 2 benar, untuk setiap n bilangan asli
Jawab:
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n = (1) benar
1 = 1 2
Jadi, P (1) benar
Langkah Kedua :
Asumsikan n = (k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) = k 2 , k ∈ N
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n = (k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) + (2 (k + 1) – 1) = (k + 1) 2
Dari asumsi:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k 2
Tambahkan kedua ruas dengan u k + 1 :
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2 (k) + 1) – 1) = k 2 + (2 (k + 1) – 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2 (k + 1) – 1) = k 2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2 (k + 1) – 1) = (k + 1) 2
Jadi, n = (k + 1) juga benar
Pembagian
Contoh 4
Buktikan n 3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli
Jawab:
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n = (1) benar
1 3 + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, n = (1) benar
Langkah Kedua :
Asumsikan n = (k) benar, yaitu
k 3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n = (k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k 3 + 3k 2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k 3 + 2k ) + (3k 2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k 2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k 2 + k + 1)
Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k 2 + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k 2 + k + 1), maka
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ
Jadi, n = (k + 1) benar
Pertidaksamaan
Contoh 5
Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 perjanjian
3 n > 1 + 2n
Jawab:
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n = (2) benar
3 2 = 9> 1 + 2.2 = 5
Jadi, P (1) benar
Langkah Kedua :
Asumsikan n = (k) benar, yaitu
3 k > 1 + 2k, k ≥ 2
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n = (k + 1) juga benar, yaitu
3 k + 1 > 1 + 2 (k + 1)
3 k + 1 = 3 (3 k )
3 k + 1 > 3 (1 + 2k) (karena 3 k > 1 + 2k)
3 k + 1 = 3 + 6k
3 k + 1 > 3 + 2k (karena 6k> 2k)
3 k + 1 = 1 + 2k + 2
3 k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Jadi, n = (k + 1) juga benar
Contoh 6
Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 usaha
(n + 1)! > 3 n
Jawab:
Langkah Pertama :
Akan ditunjukkan n = (4) benar
(4 + 1)! > 3 4
ruas kiri: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
ruas kanan: 3 4 = 81
Jadi, n = (4) benar
Langkah Kedua :
Asumsikan n = (k) benar, yaitu
(k + 1)! > 3 k , k ≥ 4
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n = (k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1 + 1)! > 3 rb + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3 k ) (karena (k + 1)!> 3 k )
(k + 1 + 1)! > 3 (3 k ) (karena k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3 k + 1
Jadi, n = (k + 1) juga benar
semoga membantu