10.8 cos 18 sama dengan brp?​

misal 180 = x, maka

cos 900 = cos 5x

= cos (4x + x)

= cos 4x cos x – sin 4x sin x

= cos (2.2x) cos x – sin (2.2x) sin x

= (2 cos2 2x – 1) cos x – 2 sin 2x cos 2x sin x

= (2 (cos 2x)2 – 1) cos x – 2 (2 sin x cos x) (2 cos2 x – 1) sin x

= (2(2 cos2 x – 1)2 – 1)cos x – 4 sin2 x cos x (2 cos2 x – 1)

= (2(4 cos4 x – 4 cos2 x + 1) – 1)cos x – 4(1 – cos2 x)cos x (2 cos2 x – 1)

= (8 cos4 x – 8 cos2 x + 2 – 1) cos x – 4 cos x (2 cos2 x – 1 – 2 cos4 x + cos2 x)

= (8 cos4 x – 8 cos2 x + 1) cos x – (8 cos3 x – 4 cos x – 8 cos5 x + 4 cos3 x)

= 8 cos5 x – 8 cos3 x + cos x – 8 cos3 x + 4 cos x + 8 cos5 x – 4 cos3 x

= 16 cos5 x – 20 cos3 x + 5 cos x

cos 900 = 16 cos5 x – 20 cos3 x + 5 cos x

0 = 16 cos5 x – 20 cos3 x + 5 cos x

misal : cos x = m

0 = 16m5 – 20m3 + 5m

0 = (16m4 – 20m2 + 5)m

16m4 – 20m2 + 5 = 0 atau m = 0 [artinya cos x = 0 (tidak mungkin)]

16m4 – 20m2 + 5 = 0

misal m2 = y

16y2 – 20y + 5 = 0

dengan menggunakan Rumus Kecap, maka

y1,2 = frac{-b pm sqrt{b^2-4ac}}{2a}

= frac{-(-20) pm sqrt{(-20)^2-4.16.(5)}}{2.16}

= frac{20 pm sqrt{400-320}}{32}

= frac{20 pm sqrt{80}}{32}

= frac{20 pm 4sqrt{5}}{32}

= frac{5 pm sqrt{5}}{8}

y1 = frac{5-sqrt{5}}{8} atau y2 = frac{5+sqrt{5}}{8} .

m1,2 = pm sqrt{frac{5-sqrt{5}}{8} times frac{2}{2}}

= pm frac{sqrt{10-2sqrt{5}}}{4}

m1 = frac{sqrt{10-2sqrt{5}}}{4} atau m2 = -frac{sqrt{10-2sqrt{5}}}{4} [tidak mungkin karena m2 bernilai negatif]

m3,4 = pm frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4}

m3 = frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4} atau m4 = -frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4} [tidak mungkin karena m4 bernilai negatif]

nilai dari cos 180 adalah frac{sqrt{10 pm 2sqrt{5}}}{4} . Tapi jika kita menghitung menggunakan kalkulator, maka nilai cos 180 yang sesuai adalah frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4}

atau bisa juga kita manfaatkan hasil dari sin 180 = frac{-1 + sqrt{5}}{4} dan menggunakan sifat dasar identitas trigonometri cos2 x + sin2 x = 1.

cos2 180 + sin2 180 = 1

cos2 180 = 1 – sin2 180

= 1 – (frac{-1 + sqrt{5}}{4})^2

= frac{16}{16} – frac{1-2sqrt{5}+5}{16}

= frac{16}{16} – frac{6-2sqrt{5}}{16}

= frac{2sqrt{5}+10}{16}

cos 180 = pm frac{sqrt{2sqrt{5}+10}}{4}

cos 180 = frac{sqrt{2sqrt{5}+10}}{4} atau cos 180 = -frac{sqrt{2sqrt{5}+10}}{4} [tidak mungkin cos 180 bernilai negatif]

jadi cos 180 = frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4}