Tolong dijawab otak saya dah mau pecah ni

Nilai
limit x-›0
$( frac{2x - x sqrt{2 + sqrt{2 + sqrt{2 + 2cos(4x) } } } }{ tan(x ) - sin(x) } )$

Tolong dijawab otak saya dah mau pecah ni

Jawaban Terkonfirmasi

$Hasil~dari~lim_{x to 0} frac{2x-xsqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+2cos4x}}}}{tanx-sinx}~adalah~mathbf{frac{1}{2}}.$

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada maka berarti itulah nilai limitnya.

$lim_{x to c} f(x)=f(c)$

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $frac{0}{0}~atau~frac{infty}{infty}$ maka harus dilakukan manipulasi aljabar atau menggunakan aturan l'hospital. Dengan menggunakan aturan l'hospital, nilai limit fungsi dapat dicari dengan rumus :

$lim_{x to c} frac{f(x)}{g(x)}=frac{f'(c)}{g'(c)},~~~~~~~dengan~f'(c),~g'(c)neq 0$

Operasi pada limit adalah sebagai berikut :

$lim_{x to c} f(x)=f(c)\\lim_{x to c} kf(x)=klim_{x to c} f(x)\\lim_{x to c} left [f(x)pm g(x) right ]=lim_{x to c} f(x)pmlim_{x to c} g(x)\\lim_{x to c} left [f(x)times g(x) right ]=lim_{x to c} f(x)timeslim_{x to c} g(x)\\lim_{x to c} left [frac{f(x)}{g(x)} right ]=frac{lim_{x to c} f(x)}{lim_{x to c} g(x)}\\lim_{x to c} left [f(x)} right ]^n=left [lim_{x to c} f(x)} right ]^n$

Rumus untuk limit fungsi trigonometri :

$lim_{x to 0} frac{sinax}{bx}=lim_{x to 0} frac{tanax}{bx}=frac{a}{b}\\lim_{x to 0} frac{ax}{sinbx}=lim_{x to 0} frac{ax}{tanbx}=frac{a}{b}\\lim_{x to a} frac{sin(x-a)}{x-a}=lim_{x to a} frac{tan(x-a)}{x-a}=1$

DIKETAHUI

$lim_{x to 0} frac{2x-xsqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+2cos4x}}}}{tanx-sinx}=$

DITANYA

Tentukan nilai limitnya.

PENYELESAIAN

Cek dengan substitusi langsung.

$lim_{x to 0} frac{2x-xsqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+2cos4x}}}}{tanx-sinx}=frac{2(0)-(0)sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+2cos4(0)}}}}{tan0-sin0}\\lim_{x to 0} frac{2x-xsqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+2cos4x}}}}{tanx-sinx}=frac{0}{0}$

Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka kita perlu ubah bentuknya terlebih dahulu. Kita ubah terlebih dahulu bentuk akarnya. Gunakan identitas $cos2alpha=2cos^2alpha-1$ .

$sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+2cos4x}}}=sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2(1+cos4x)}}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2(1+2cos^22x-1)}}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2+sqrt{2+sqrt{4cos^22x}}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2+sqrt{2+2cos2x}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2+sqrt{2(1+cos2x)}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2+sqrt{2(1+2cos^2x-1)}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2+sqrt{4cos^2x}}$

$.\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2+2cosx}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2(1+cosx)}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{2(1+2cos^2frac{x}{2}-1)}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=sqrt{4cos^2frac{x}{2}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2cosfrac{x}{2}$

Maka :

$lim_{x to 0} frac{2x-xsqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+2cos4x}}}}{tanx-sinx}=lim_{x to 0} frac{2x-2xcosfrac{x}{2}}{tanx-sinx}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=lim_{x to 0} frac{2x(1-cosfrac{x}{2})}{frac{sinx}{cosx}-sinx}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=lim_{x to 0} frac{2x(1-1+2sin^2frac{x}{4})}{frac{sinx-sinx.cosx}{cosx}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=lim_{x to 0} frac{4xsin^2frac{x}{4}cosx}{sinx(1-cosx)}timesfrac{1+cosx}{1+cosx}$

$.\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=lim_{x to 0} frac{4xsin^2frac{x}{4}cosx(1+cosx)}{sinx(1-cos^2x)}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4lim_{x to 0} frac{xsin^2frac{x}{4}cosx(1+cosx)}{sinx(sin^2x)}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4lim_{x to 0} left [ frac{x}{sinx}timesleft ( frac{sinfrac{x}{4}}{sinx} right )^2 righttimes cosx(1+cosx) ]$

$.\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4left [ 1timesleft ( frac{1}{4} right )^2 righttimes cos0(1+cos0) right ]\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4left [ frac{1}{16}times 1(1+1) right ]\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=frac{1}{2}$

KESIMPULAN

$Hasil~dari~lim_{x to 0} frac{2x-xsqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+2cos4x}}}}{tanx-sinx}~adalah~mathbf{frac{1}{2}}.$

PELAJARI LEBIH LANJUT

Limit trigonometri : brainly.co.id/tugas/30308496
Limit trigonometri : brainly.co.id/tugas/30292421
Limit trigonometri : brainly.co.id/tugas/30243881

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Limit Fungsi

Kode Kategorisasi: 11.2.8

Kata Kunci : limit, fungsi, trigonometri.