Bantu dong kawannnnnnnn

By Admin ReiPosted on December 7, 2022

Bantu dong kawannnnnnnn

Bantu dong kawannnnnnnn

Diberikan

$f(t)=tsqrt{t^2+1}$

akan dicari fungsi naik fungsi turun dan nilai kecekungan

turunan pertama

$f'(t)=frac{d}{dt} f(t)$

$=t(frac{1}{2sqrt{t^2+1} } cdot2t)+1cdotsqrt{t^2+1}$

$=frac{t^2}{sqrt{t^2+1} } +sqrt{t^2+1}$

$=frac{t^2}{sqrt{t^2+1} } +frac{t^2+1}{sqrt{t^2+1} }$

$=frac{2t^2+1}{sqrt{t^2+1} }$

karena $2t^2+1geq 1$ dan $sqrt{t^2+1} geq 1$ sehingga

$f'(t)=frac{2t^2+1}{sqrt{t^2+1} }>0$ untuk semua $tinmathbb{R}$

(note: pembagian dua bilangan positif selalu menghasilkan bilangan positif)

maka, fungsi selalu naik

turunan kedua

$f''(t)=frac{d}{dt} f'(t)$

$=frac{sqrt{t^2+1}cdot(4t)-(2t^2+1)(frac{1}{2sqrt{t^2+1} } cdot2t) }{sqrt{t^2+1}^2 }$

$=frac{4tsqrt{t^2+1} -(2t^2+1)frac{t}{sqrt{t^2+1} } }{t^2+1}$

pandang pembilangnya

${4tsqrt{t^2+1} -(2t^2+1)frac{t}{sqrt{t^2+1} } }=frac{1}{sqrt{t^2+1} } [4t(t^2+1)+t(2t^2+1)]$

$=frac{1}{sqrt{t^2+1} } [(4t^3+4t)+(2t^3+t)]\=frac{1}{sqrt{t^2+1} } [6t^3+5t]$

maka

$f''(t)=frac{6t^3+5t}{(t^2+1)^{3/2} }$

cekung atas

$f$ cekung ke atas jika $f''(t)>0$

$f''(t)=frac{6t^3+5t}{(t^2+1)^{3/2} }>0$

$6t^3+5t >0\t(6t^2+5)>0\t>0$

(karena $t^2+1$ dan $6t^2+5$ pasti positif)

jadi, $f$ cekung ke atas saat $t >0$

cekung bawah

$f$ cekung ke atas jika $f''(t)$

$f''(t)=frac{6t^3+5t}{(t^2+1)^{3/2} }$

$6t^3+5t$

jadi, $f$ cekung ke bawah saat $t$

KESIMPULAN

fungsi $f(t)=tsqrt{t^2+1}$

selalu naik di setiap $tin mathbb{R}$

cekung ke atas saat $t>0$

cekung ke bawah saat $t$

Gambar Jawaban