QUIZ #16 - Universityku

grafik f(x) = e^x kurang bersahabat, banyak grafik yang menjauhinya.

$large 1.$

Karena g(x) = x sangat jauh dari f(x), bantu f(x) untuk memutar g(x) dengan menggubah g(x) = x menjadi g(x) = ax.

Maka berapa nilai a yang dibutuhkan supaya f dan g saling menempel?

$large 2.$

Ada cara lain supaya f dan g menempel, ubah g(x) = x menjadi g(x) = x + a

berapa nilai a yang dibutuhkan supaya f dan g menempel

$large 3.$

Ada 1 grafik lagi, h(y) = y², kamu akan mendekatkan h ke f sehingga mereka saling menempel, dengan mengubah h(y) = y² menjadi h(y) = y² -a.

berapa nilai a?

QUIZ #16

Nomor 1.

Di soal diketahui bahwa

f(x) = e^x dan g(x) = ax.

Menggunakan aturan turunan,

f'(x) = e^x dan g'(x) = a.

Dan supaya f(x) dan g(x) saling menempel,

f(x) = g(x) dan

f'(x) = g'(x)

Substitusi keempat fungsi tersebut ke

f(x) = g(x)

f'(x) = g'(x)

dan kita dapat

$begin{align} {e}^{x} &= ax \ {e}^{x}& = a end{align}$

Bagi persamaan pertama dengan yang kedua

$begin{align} frac{ {e}^{x} }{ {e}^{x} }& = frac{ax}{a} \ 1& = x end{align}$

Substitusi nilai x ke persamaan kedua

$begin{align}{e}^{1} &= a \ e& = a end{align}$

Jadi, jawabannya adalah

$a = e$

Nomor 2.

Di soal diketahui bahwa

f(x) = e^x dan g(x) = x + a.

Menggunakan aturan turunan,

f'(x) = e^x dan g(x) = 1.

Dan supaya f(x) dan g(x) saling menempel,

f(x) = g(x) dan

f'(x) = g'(x)

Substitusi keempat fungsi tersebut ke

f(x) = g(x)

f'(x) = g'(x)

dan kita dapat

$begin{align} {e}^{x} &= x + a \ {e}^{x}& = 1 end{align}$

Selesaikan persamaan kedua

${e}^{x} = 1 to x = 0$

Dan substitusi nilai x ke persamaan pertama

$begin{align} {e}^{0} &= 0 + a \ 1& = a end{align}$

Jadi, jawabannya adalah

$a = 1$

Nomor 3.

$begin{align} h(y) & = {y}^{2} - a \ text{misal} : y = {h}^{ - 1}(x) \ h( {h}^{ - 1}(x)) & = {( {h}^{ - 1}(x) )}^{2} - a \ x & = { ({h}^{ - 1}(x) )}^{2} - a \ x +a & = {( {h}^{ - 1}(x) )}^{2} \ sqrt{x + a}& = {h}^{ - 1} (x) end{align}$

Kenapa gak

$- sqrt{x + a} = {h}^{ - 1} (x) ?$

Pertama, turunan dari √(x + a) tidak terdefinisi pada x + a = 0.

Kedua, range dari e^x adalah (0, ∞)

Ketiga, √(x + a) selalu positif kalau bukan 0.

$text{misalkan} : i(x) = {h}^{ - 1} (x) = sqrt{x + a} \$

Jadi, kita ubah pernyataan dan pertanyaan menjadi

"f(x) = e^x dan i(x) = √(x + a).

Supaya f(x) dan i(x) menempel, berapakah nilai a?".

Di soal yang barusan dibuat,

f(x) = e^x dan i(x) = √(x + a)

Menggunakan aturan turunan,

f'(x) = e^x dan

$i'(x) = frac{1}{2 sqrt{x + a} }$

Dan supaya f(x) dan i(x) saling menempel,

f(x) = i(x) dan

f'(x) = i'(x).

Substitusi keempat fungsi tersebut ke

f(x) = i(x)

f'(x) = i'(x)

dan kita dapat

$begin{align} {e}^{x} &= sqrt{x + a} \ {e}^{x}& = frac{1}{2 sqrt{x + a} } end{align}$

Kalikan persamaan pertama dengan persamaan kedua

$begin{align} {e}^{x} cdot {e}^{x} & = sqrt{x + a} cdot frac{1}{2 sqrt{x + a} } \ {e}^{2x}& = frac{1}{2} \ 2x & = ln( frac{1}{2} ) \ x & = - frac{1}{2} ln(2) end{align}$

Substitusi nilai x ke persamaan pertama

$begin{align} {e}^{ - frac{1}{2} ln(2) } & = sqrt{ - frac{1}{2} ln(2) + a } \ {e}^{ - ln(2) } & = - frac{1}{2} ln(2) + a \ frac{1}{2}& = - frac{1}{2} ln(2) = a \ frac{1}{2} + frac{1}{2} ln(2) & = a \ frac{1}{2} (1 + ln(2)) & = a end{align}$

Jadi, jawabannya adalah

$a = frac{1}{2} (1 + ln(2) )$

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

$text{f(x) = g(x)}\e^x =ax\xe^{-x} = dfrac{1}{a}\\-xe^{-x} = - dfrac{1}{a} to x = -Wleft(-dfrac{1}{a}right)\\text{f'(x) = g'(x)}\e^x = a\\x = -W(-e^{-x})\\-x = W(-e^{-x})\\-e^{-x} = -xe^{-x}\\(x-1)e^{-x} = 0 to x = 1 to boxed{textbf{Huge{a = e}}}$