Mohon bantuannya kak, saya lemah :)

Mohon bantuannya kak, saya lemah 🙂

Luas permukaan benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x³, 0 ≤ y ≤ 1 jika diputar terhadap sumbu y adalah $displaystyle{boldsymbol{frac{6}{35}pileft ( 925sqrt{10}-2916 right )~satuan~luas} }$ .

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

$displaystyle{f(x)=intlimits {left [ frac{df(x)}{dx} right ]} , dx}$

Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung luas permukaan benda putar.

1. Jika diputar terhadap sumbu x : $displaystyle{A=2piintlimits^{x_2}_{x_1} {ysqrt{1+left ( frac{dy}{dx} right )^2}} , dx }$

2. Jika diputar terhadap sumbu y : $displaystyle{A=2piintlimits^{y_2}_{y_1} {xsqrt{1+left ( frac{dx}{dy} right )^2}} , dy }$

DIKETAHUI

Suatu daerah dibatasi oleh y = x³, 0 ≤ y ≤ 1 diputar terhadap sumbu y.

DITANYA

Tentukan luas permukaannya.

PENYELESAIAN

$y=x^3$

$displaystyle{x=y^{frac{1}{3}} }$

$displaystyle{frac{dx}{dy}=frac{1}{3}y^{frac{1}{3}-1} }$

$displaystyle{frac{dx}{dy}=frac{1}{3}y^{-frac{2}{3}} }$

Karena diputar terhadap sumbu y, kita gunakan rumus no 2.

$displaystyle{A=2piintlimits^{y_2}_{y_1} {xsqrt{1+left ( frac{dx}{dy} right )^2}} , dy }$

$displaystyle{A=2piintlimits^1_0 {y^{frac{1}{3}}sqrt{1+left ( frac{1}{3}y^{-frac{2}{3}} right )^2}} , dy }$

$displaystyle{A=2piintlimits^1_0 {y^{frac{1}{3}}sqrt{1+frac{1}{9}y^{frac{4}{9}}}} , dy }$

$displaystyle{A=2piintlimits^1_0 {y^{frac{1}{3}}sqrt{frac{1}{9}(9+y^{frac{4}{9}})}} , dy }$

$displaystyle{A=frac{2}{3}piintlimits^1_0 {y^{frac{1}{3}}sqrt{9+y^{frac{4}{9}}}} , dy }$

$---------------$

Misal :

$u=y^{frac{4}{9}}$

$displaystyle{du=frac{4}{9}y^{frac{4}{9}-1}dy }$

$displaystyle{du=frac{4}{9}y^{-frac{5}{9}}dy }$

Untuk $y=0~to~u=(0)^{frac{9}{4}}=0$

Untuk $y=1~to~u=(1)^{frac{9}{4}}=1$

$---------------$

$displaystyle{A=frac{2}{3}piintlimits^1_0 {y^{frac{1}{3}}sqrt{9+u}} , frac{9du}{4y^{-frac{5}{9}}} }$

$displaystyle{A=frac{3}{2}piintlimits^1_0 {y^{(frac{1}{3}+frac{5}{9})}sqrt{9+u}} , du }$

$displaystyle{A=frac{3}{2}piintlimits^1_0 {y^{frac{8}{9}}sqrt{9+u}} , du }$

$displaystyle{A=frac{3}{2}piintlimits^1_0 {(u^{frac{9}{4}})^{frac{8}{9}}sqrt{9+u}} , du }$

$displaystyle{A=frac{3}{2}piintlimits^1_0 {u^2sqrt{9+u}} , du }$

$---------------$

Misal :

$v=sqrt{9+u}$

$v^2=u+9$

$2vdv=du$

Untuk $u=0~to~v=sqrt{0+9}=3$

$u=1~to~v=sqrt{1+9}=sqrt{10}$

$---------------$

$displaystyle{A=frac{3}{2}piintlimits^{sqrt{10}}_3 {(v^2-9)^2v} , (2vdv) }$

$displaystyle{A=3piintlimits^{sqrt{10}}_3 {v^2(v^4-18v^2+81)} , dv }$

$displaystyle{A=3piintlimits^{sqrt{10}}_3 {(v^6-18v^4+81v^2)} , dv }$

$displaystyle{A=3pileft ( frac{1}{7}v^7-frac{18}{5}v^5+27v^3 right )Bigr|^{sqrt{10}}_3 }$

$displaystyle{A=frac{3}{35}pileft ( 5v^7-126v^5+945v^3 right )Bigr|^{sqrt{10}}_3 }$

$displaystyle{A=frac{3}{35}pileft [ left ( 5(sqrt{10})^7-126(sqrt{10})^5+945(sqrt{10})^3 right )-left ( 5(3)^7-126(3)^5+945(3)^3 right ) right ] }$

$displaystyle{A=frac{3}{35}pileft ( 5000sqrt{10}-12600sqrt{10}+9450sqrt{10}-10935+30618-25515 right ) }$

$displaystyle{A=frac{3}{35}pileft ( 1850sqrt{10}-5832 right ) }$

$displaystyle{A=frac{6}{35}pileft ( 925sqrt{10}-2916 right ) }$

KESIMPULAN

Luas permukaan benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x³, 0 ≤ y ≤ 1 jika diputar terhadap sumbu y adalah $displaystyle{boldsymbol{frac{6}{35}pileft ( 925sqrt{10}-2916 right )~satuan~luas} }$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Mencari luas permukaan bola : brainly.co.id/tugas/47437940
Mencari luas permukaan sikloda : brainly.co.id/tugas/36981610
Mencari titik berat kurva : brainly.co.id/tugas/47427349
Mencari panjang busur kurva : brainly.co.id/tugas/46515229

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral Tak Tentu

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, luas, permukaan, benda, putar.