Bagi-bagi poin guys, kerjakan dengan penyelesaian ya

Bagi-bagi poin guys, kerjakan dengan penyelesaian ya

a. #) Untuk n = 1, maka diperoleh:

$1.2=frac{1(1+1)(1+2)}{3}$ ⇔ $2=frac{1(2)(3)}{3}$ ⇔ $2=2$ (benar)

#) Andaikan S(n) benar untuk n = k, maka diperoleh:

$1.2 + 2.3 + 3.4 +......+ k(k+1)=frac{k(k+1)(k+2)}{3}$

Untuk n = k + 1, diperoleh:

$1.2 + 2.3 + 3.4 +....+ k(k+1)+(k+1)((k+1)+1))=frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)((k+1)+1))$

$=frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2))$ $=(k+1)(k+2)(frac{k}{3}+1)$ $=(k+1)(k+2)(frac{1}{3})(k+3)$ $=frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ $=frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$

Bentuk terakhir ini adalah rumus S(n) untuk n = k + 1.

Jadi, Jika S(n) benar untuk n = k maka S(n) juga benar untuk n= k + 1

Dengan demikian terbuktilah bahwa rumus umum S(n):

$1.2 + 2.3 + 3.4 +......+ n(n+1)=frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Berlaku untuk semua n bilangan asli. (n ≥ 1).

b. #) Untuk n = 1, maka diperoleh:

$1^{2}=(frac{1(1+1)}{2} )^{2}$ ⇔ $1^{2}=(frac{1(2)}{2} )^{2}$ ⇔ $1^{2}=1^{2}$ ⇔ 1 = 1

Jadi, S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.

#) Andaikan S(n) benar untuk n = k, maka diperoleh:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}=(frac{k(k+1)}{2} )^{2}$

akan ditunjukkan bahwa untuk n = k + 1, rumus S(n) juga benar.

Untuk n = k + 1, diperoleh:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}=(frac{k(k+1)}{2} )^{2}+(k+1)^{2}$

$=(frac{k(k+1)}{2} +frac{2k+2}{2})^{2}$ $=(frac{k^{2}+k +2k+2}{2})^{2}$ $=(frac{k^{2}+3k+2}{2})^{2}$ $=(frac{(k+1)(k+2)}{2})^{2}$ $=(frac{(k+1)((k+1)+1)}{2})^{2}$

Bentuk terakhir ini adalah rumus S(n) untuk n = k + 1.

Jadi, Jika S(n) benar untuk n = k maka S(n) juga benar untuk n= k + 1

Dengan demikian terbuktilah bahwa rumus umum S(n):

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=(frac{n(n+1)}{2} )^{2}$

Berlaku untuk semua n bilangan asli. (n ≥ 1).

c. $frac{1}{1.2} +frac{1}{2.3} +frac{1}{3.4} +....+frac{1}{n(n+1)} =frac{n}{(n+1)}$

#) Untuk n = 1, maka diperoleh:

$frac{1}{1.2} =frac{1}{(1+1)}$

⇔ $frac{1}{2} =frac{1}{2}$

Jadi, S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.

#) Andaikan S(n) benar untuk n = k, maka diperoleh:

$frac{1}{1.2} +frac{1}{2.3} +frac{1}{3.4} +....+frac{1}{k(k+1)} =frac{k}{(k+1)}$

akan ditunjukkan bahwa untuk n = k + 1, rumus S(n) juga benar.

Untuk n = k + 1, diperoleh:

$frac{1}{1.2} +frac{1}{2.3} +frac{1}{3.4} +....+frac{1}{k(k+1)} +frac{1}{(k+1)((k+1)+1)} =frac{k}{(k+1)}+frac{1}{(k+1)((k+1)+1)}$

| | $=frac{k}{(k+1)}+frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=frac{k}{(k+1)}$ $=frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}+frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=frac{k^{2}+2k+1}{(k+1)(k+2)}$ $=frac{(k+1)(k+1)}{(k+1)(k+2)}$ $=frac{(k+1)}{(k+2)}$ $=frac{(k+1)}{(k+1)+1}$

Bentuk terakhir ini adalah rumus S(n) untuk n = k + 1.

Jadi, Jika S(n) benar untuk n = k maka S(n) juga benar untuk n= k + 1

Dengan demikian terbuktilah bahwa rumus umum S(n):

$frac{1}{1.2} +frac{1}{2.3} +frac{1}{3.4} +....+frac{1}{n(n+1)} =frac{n}{(n+1)}$

Berlaku untuk semua n bilangan asli. (n ≥ 1).

d. #) Untuk n = 1, maka diperoleh:

$frac{1^{2}}{1.3} =frac{1(1+1)}{2(2(1)+1)}$ ⇔ $frac{1}{3} =frac{1(2)}{2(3)}$ ⇔ $frac{1}{3} =frac{1}{3}$

Jadi, S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.

#) Andaikan S(n) benar untuk n = k, maka diperoleh:

$frac{1^{2}}{1.3} +frac{2^{2}}{3.5} +frac{3^{2}}{5.7} +...+frac{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)} =frac{k(k+1)}{2(2k+1)}$

akan ditunjukkan bahwa untuk n = k + 1, rumus S(n) juga benar.

Untuk n = k + 1, diperoleh:

$frac{1^{2}}{1.3} +frac{2^{2}}{3.5} +frac{3^{2}}{5.7} +...+frac{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)} +frac{(k+1)^{2}}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)} =frac{k(k+1)}{2(2k+1)}+frac{(k+1)^{2}}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}$ $=frac{k(k+1)}{2(2k+1)}+frac{(k+1)^{2}}{(2k+2-1)(2k+2+1))}$ $=frac{k(k+1)}{2(2k+1)}+frac{(k+1)^{2}}{(2k+1)(2k+3))}$ $=frac{(k+1)}{(2k+1)}(frac{k(2k+3)+2(k+1)} {2(2k+3)})$ $=frac{(k+1)}{(2k+1)}(frac{2k^{2}+3k+2k+2} {2(2k+3)})$ $=frac{(k+1)}{(2k+1)}(frac{2k^{2}+5k+2} {2(2k+3)})$ $=frac{(k+1)(k+2)}{(2(2k+2+1)}$ $=frac{(k+1)((k+1)+1)}{(2(2(k+1)+1))}$