Berapakah luas maksimum trapesium tersebut (dalam cm2)? tuliskan langkah penyelesaiannya
Gambar dibawah adalah sebuah trapesium ABCD dengan AD = CD = BC = m cm, ∠DAB = ∠CBA = 2α dan α adalah sudut lancip. Luas maksimum trapesium tersebut adalah ¾ √3 m² cm². Hasil tersebut diperoleh dengan menggunakan turunan pertama untuk mencari nilai stasionernya. Nilai stasioner diperoleh jika f’(x) = 0. Titik stasioner ada 3 jenis yaitu
- Titik balik maksimum diperoleh jika f”(x₁) < 0
- Titik balik minimum diperoleh jika f”(x₁) > 0
- Titik belok diperoleh jika f”(x₁) = 0
Pembahasan
Diketahui
- AD = CD = BC = m cm
- ∠DAB = ∠CBA = 2α
- α = Sudut lancip
Ditanyakan
Luas maksimum trapesium ABCD = … ?
Jawab
Luas trapesium = ½ × (jumlah sisi yang sejajar) × tinggi
Luas trapesium = ½ × (DC + AB) × DP
Perhatikan trapesium pada gambar
AP = QB, segitiga APD siku-siku di P
cos A =
cos 2α =
AP = m cos 2α
sin A =
sin 2α =
DP = m sin 2α
QB = AP = m cos 2α
PQ = DC = m
AB = AP + PQ + QB
AB = m cos 2α + m + m cos 2α
AB = 2m cos 2α + m
Jadi luas trapesium adalah
L = ½ × (DC + AB) × DP
L = ½ × (m + 2m cos 2α + m) × m sin 2α
L = ½ × (2m + 2m cos 2α) × m sin 2α
L = (m + m cos 2α) × m sin 2α
L = m² sin 2α + m² sin 2α cos 2α
L = m² sin 2α + m² ½ sin 4α
L = m² sin 2α + ½ m² sin 4α
Agar diperoleh luas maksimum maka L’ = 0 (diturunkan terhadap α)
L’ = m² . 2 cos 2α + ½ m² . 4 cos 4α
L’ = 2m² cos 2α + 2m² cos 4α
L’ = 0
2m² cos 2α + 2m² cos 4α = 0
2m² (cos 2α + cos 4α) = 0
2m² ≠ 0 karena m adalah panjang sisi trapesium, maka
(cos 2α + cos 4α) = 0
cos 2α + (2 cos² 2α – 1) = 0
2 cos² 2α + cos 2α – 1 = 0
Misal cos 2α = a
2a² + a – 1 = 0
(2a – 1)(a + 1) = 0
(2a – 1) = 0 atau (a + 1) = 0
a = ½ a = –1
Untuk a = ½
cos 2α = ½
cos 2α = cos 60ᵒ
2α = 60ᵒ
α = 30ᵒ
Untuk a = –1
cos 2α = –1
cos 2α = cos 180ᵒ
2α = 180ᵒ
α = 90ᵒ
Karena α sudut lancip maka α = 30ᵒ
Luas maksimum dari trapesium ABCD adalah
L = m² sin 2α + ½ m² sin 4α
L = m² sin 2(30ᵒ) + ½ m² sin 4(30ᵒ)
L = m² sin 60ᵒ + ½ m² sin 120ᵒ
L = m² (½ √3) + ½ m² (½ √3)
L = ½ √3 m² + ¼ √3 m²
L = ¾ √3 m²
Jadi luas maksimum trapesium tersebut adalah ¾ √3 m² cm²
Pelajari lebih lanjut
Contoh soal lain tentang nilai maksimum
————————————————
Detil Jawaban
Kelas : 11
Mapel : Matematika
Kategori : Turunan Fungsi Aljabar
Kode : 11.2.9
Kata Kunci : Gambar dibawah adalah sebuah trapesium ABCD dengan AD = CD = BC = m cm
