Buktikan bahwa n³-n dapat dibagi dengan 3 apabila n adalah suatu bilangan bulat positif

Jawaban:

Jadi P(K+1) habis dibagi 3. Akibatnya P(n) terbukti benar dengan prinsip induksi

n^3 – n habis dibagi 3 jika n = bilangan bulat positif.

a]

untuk n = 1

n^3 – n

= 1^3 – 1

= 1 – 1

= 0

habis dibagi oleh 3

jadi , rumus benar untuk n = 1 atau S(1) benar

b]

Andai S(n) benar untuk n = k , maka diperoleh :

k^3 – k habis dibagi oleh 3.Oleh karena k^3 – k habis dibagi oleh 3 , maka k^3 – k dapat dinyatakan sebagai k^3 – k = 3p dengan p sembarang bilangan bulat positif.

Akan ditunjukkan bahwa S(n) benar untuk n = k + 1.

Untuk n = k + 1 diperoleh :

(k + 1)^3 – (k + 1)

= (k + 1)(k + 1)^2 – (k + 1)

= (k + 1)(k^2 + 2k + 1) – (k + 1)

= k^3 + 2k^2 + k + k^2 + 2k + 1 – k – 1

= (3k^2 + 3k) + (k^3 – k)

= 3(k^2 + k) + 3p

habis dibagi 3

jadi n^3 – n habis dibagi oleh 3 berlaku untuk semua n bilangan bulat positif