Buktikan untuk n bilangan asli maka 4 pangkat 2 dikurangi 1 habis dibagi 3

Jawaban:

Buktikan bahwa 5²ⁿ -1 habis dibagi 3 untuk n bilangan asli

Pembahasan :

Untuk membuktikan 5²ⁿ – 1 habis dibagi 3 bisa menggunakan induksi matematika yaitu ada 2 langkah

1) Buktikan untuk n = 1 benar

2) Misal untuk n = x benar, buktikan untuk n = x + 1 juga benar

Jadi

5²ⁿ – 1

1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar

= 5²⁽¹⁾ – 1

= 5² – 1

= 25 – 1

= 24

24 habis dibagi 3

(BENAR)

2) Kita asumsikan untuk n = x Benar

5²ˣ – 1 habis dibagi 3

Akan dibuktikan untuk n = x + 1 juga benar

5²⁽ˣ⁺¹⁾ – 1

= 5²ˣ⁺² – 1

= 5²ˣ . 5² – 1

= 5²ˣ . 25 – 1

= 5²ˣ . (24 + 1) – 1

= 5²ˣ . 24 + 5²ˣ . 1 – 1

= 24 . 5²ˣ + 5²ˣ – 1

= (3 . 8 . 5²ˣ) + (5²ˣ – 1)

(3 . 8 . 5²ˣ) sudah jelas habis dibagi 3

(5²ˣ – 1) habis dibagi 3 (berdasarkan asumsi n = x)

maka

(3 . 8 . 5²ˣ) + (5²ˣ – 1) juga habis dibagi 3

(BENAR)

Jadi terbukti bahwa 5²ⁿ – 1 habis dibagi 3

Catatan :

untuk x bisa kita ganti dengan k

jadi

n = k atau n = (k + 1)

#Smogamembantu:')