Diketahui akar akar persamaan x^4 - 8x³ + ax² - bx + c = 0 membentuk barisan aritmatika dengan beda 2. tentukan nilai a, b, c

Diketahui akar akar persamaan x^4 – 8x³ + ax² – bx + c = 0 membentuk barisan aritmatika dengan beda 2. tentukan nilai a, b, c

Jawaban Terkonfirmasi

Nilai a, b dan c apda persamaan $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0$ yang akar akar persamaannya membentuk barisan aritmatika dengan beda 2 adalah a = 14, b = -8, dan c = -15.

PEMBAHASAN

Polinom atau suku banyak merupakan suatu sistem persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya lebih besar dari 2. Bentuk umum suku banyak adalah

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$

Suku banyak berderajat n memiliki n buah akar rasional.

Untuk suku banyak berderajat empat $px^4+qx^3+rx^2+sx+t$ memiliki 4 akar rasional $x_1,~x_2,~x_3,~dan~x_4$ . Penjumlahan dan perkalian akar akarnya dapat dilihat pada rumus di bawah ini.

$x_1+x_2+x_3+x_4=-frac{q}{p}\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=frac{r}{p}\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-frac{s}{p}\\x_1x_2x_3x_4=frac{t}{p}$

Sedangkan barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan dimana beda tiap suku bilangan yang berdekatan adalah tetap/sama.

Rumus suku ke-n : $u_n=a+(n-1)b$

dimana :

$u_n$ = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

Untuk jumlah suku ke-n : $S_n=frac{n}{2}[a+(n-1)b]$

DIKETAHUI

Akar akar persamaan $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0$ membentuk barisan aritmatika dengan beda 2.

DITANYA

Tentukan nilai a,b, dan c.

PENYELESAIAN

> Cari nilai akar-akarnya.

Misal akar akar dari $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0$ adalah $x_1,~x_2,~x_3,~dan~x_4$ .

Karena akar akarnya membentuk barisan artimatika dengan beda 2 maka berlaku :

$x_1=x_1\\x_2=x_1+2\\x_3=x_1+4\\x_4=x_1+6\\\x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0\\maka~p=1,~q=-8,~r=a,~s=-b,~t=c\\\x_1+x_2+x_3+x_4=-frac{q}{p}\\x_1+(x_1+2)+(x_1+4)+(x_1+6)=-frac{-8}{1}\\4x_1+12=8\\4x_1=-4\\x_1=-1\\\diperoleh~:\\x_1=-1\\x_2=-1+2=1\\x_3=-1+4=3\\x_4=-1+6=5$

> Cari nilai a.

$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=frac{r}{p}\\-1(1)-1(3)-1(5)+1(3)+1(5)+3(5)=frac{a}{1}\\a=14$

> Cari nilai b.

$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-frac{s}{a}\\-1(1)(3)-1(1)(5)-1(3)(5)+1(3)(5)=-frac{-b}{1}\\b=-8$

> Cari nilai c.

$x_1x_2x_3x_4=frac{t}{p}\\-1(1)(3)(5)=frac{c}{1}\\c=-15$

Diperoleh nilai a = 14, b = -8, dan c = -15.

KESIMPULAN

Nilai a, b dan c apda persamaan $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0$ yang akar akar persamaannya membentuk barisan aritmatika dengan beda 2 adalah a = 14, b = -8, dan c = -15.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Akar akar suku banyak : brainly.co.id/tugas/29315695
Akar akar suku banyak : brainly.co.id/tugas/29401117
Mencari persamaan suku banyak : brainly.co.id/tugas/28936321

DETAIL JAWABAN

Mapel: Matematika

Kelas : 10

Bab : Suku Banyak

Kode Kategorisasi: 10.2.x

Kata Kunci : suku, banyak, polinom, teorema, Vieta, akar, barisan, aritmatika