diketahui barisan geometri dengan banyak suku 9 buah, suku terakhir 64, dan hasil kali semua sukunya 2^18 carilah suku tengah dan suku pertamanya​

By Posted on

diketahui barisan geometri dengan banyak suku 9 buah, suku terakhir 64, dan hasil kali semua sukunya 2^18 carilah suku tengah dan suku pertamanya​

Jawab:

Suku tengah = U₅ = 4

Suku pertama = a = 1/4

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk barisan geometri tersebut, berlaku:

largetext{$begin{aligned}&{begin{cases}textsf{Suku terakhir:}\quad U_9=64\\textsf{Hasil kali semua sukunya:}\quadprodlimits_{n=1}^{9}ar^{n-1}=(a)(ar)dotsleft(ar^7right)left(ar^8right)=2^{18}end{cases}}\\end{aligned}$}

largetext{$begin{aligned}&{U_9}=64iff ar^8=64quad.....(i)\\&{prodlimits_{n=1}^{9}ar^{n-1}}=(a)(ar)dotsleft(ar^7right)left(ar^8right)=2^{18}\&{iff }{left(a^9right){Largetext{$r$}}^{left(sumlimits_{k=1}^{8}kright)}=2^{18}}\&{iff }{left(a^9right){Largetext{$r$}}^{left[4(2+7)right]}=2^{18}}\&{iff }a^9r^{36}=2^{18}\&{iff }ar^4=2^2iff ar^4=4quad.....(ii)end{aligned}$}

Karena banyak suku barisan geometri adalah 9, maka suku tengah adalah suku ke-5.

∴ Dari persamaan (ii) di atas, kita sudah memperoleh suku ke-5, yaitu 4.

Mencari suku pertama:

largetext{$begin{aligned}&{U_1}=a=frac{left(a^{cancel2}cancel{r^8}right)}{cancel{a}cancel{r^8}}=frac{left(ar^4right)^2}{ar^8}\&qquadquad:!!=frac{left(U_5right)^2}{U_9}=frac{4^2}{64}=frac{16}{64}\\&boxed{ U_1=a=bffrac{1}{4} }end{aligned}$}

∴ Jadi, suku pertamanya adalah 1/4.

_________________________

Jika masih ingin menghitung rasio barisan geometri:

largetext{$begin{aligned}&textsf{Dari nilai suku yang diketahui, perpangkatannya adalah}\&textsf{bilangan genap. Maka ada dua kemungkinan rasio,}\&textsf{yaitu positif atau negatif.}\&{U_5}=ar^4iff r=pm sqrt[4]{frac{U_5}{a}}\&r=pm sqrt[4]{frac{4}{frac{1}{4}}}=pm sqrt[4]{16}=pm 2\&textsf{Jika $r = 2$: }{U_9}=ar^8=tfrac{1}{4}cdot2^8=2^6=64quadtextsf{(benar)}\&textsf{Jika $r = -2$: }{U_9}=ar^8=tfrac{1}{4}cdot(-2)^8=2^6=64quadtextsf{(benar)}end{aligned}$}

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 2 atau –2.