Diketahui persamaan diferensial non eksak (6 y^2+ 4xy^3) dx + (6xy + 4 x^2 y^2) dy = 0. Tentukanlah faktor Integral dan penyelesaian diferensialnya!

Diketahui persamaan diferensial non eksak (6 y^2+ 4xy^3) dx + (6xy + 4 x^2 y^2) dy = 0. Tentukanlah faktor Integral dan penyelesaian diferensialnya!

Jawaban Terkonfirmasi

Faktor integrasinya adalah x. Solusi dari PD tersebut adalah $3xy^2+frac{4x^2y^3}{3}=C$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

Persamaan diferensial non eksak $(6 y^2+ 4xy^3) dx + (6xy + 4 x^2 y^2) dy = 0$

Ditanya:

Faktor integrasi dan solusinya!

Pembahasan:

Kita cari terlebih dahulu faktor integrasinya

Misalkan

$M=6 y^2+ 4xy^3\N=6xy + 4 x^2 y^2$

$g(x)=frac{frac{partial M}{y} -frac{partial N}{x} }{N}\ g(x)=frac{12y+12xy^2-(6y+8xy^2)}{6xy + 4 x^2 y^2} \g(x)=frac{6y+4xy^2}{6xy+4x^2y^2}\ g(x)=frac{6y+4xy^2}{x(6y+4xy^2)}\g(x)=frac{1}{x}$

Sehingga faktor integrasinya adalah:

$mu=e^{int g(x) dx}=e^{int frac{1}{x} dx}=x$

Maka PD dapat diubah menjadi eksak

$x (6 y^2+ 4xy^3) dx+x(6xy + 4 x^2 y^2) dy =0\(6xy^2+4x^2y^3)dx+(6x^2y+4x^3y^2)dy=0$

$u=int (6xy^2+4x^2y^3) dx + k(y)\u=3x^2y^2+frac{4x^3y^3}{3} +k(y)$

$frac{partial u}{partial y} =6x^2y+4x^3y^2+frac{dk}{dy} =N\6x^2y+4x^3y^2+frac{dk}{dy} =6xy + 4 x^2 y^2\frac{dk}{dy}=6xy + 4 x^2 y^2-6x^2y-4x^3y^2\k(y)=3xy^2+frac{4x^2y^3}{3}-3x^2y^2 -frac{4x^3y^3}{3}$

Sehingga solusinya adalah

$u=3x^2y^2+frac{4x^3y^3}{3}+3xy^2+frac{4x^2y^3}{3}-3x^2y^2 -frac{4x^3y^3}{3}=C\ 3xy^2+frac{4x^2y^3}{3}=C$

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang persamaan diferensial: brainly.co.id/tugas/51205901

#BelajarBersamaBrainly #SPJ1