Fungsi produksi adalah TP ⅓x³-5/2x²+6x+50. Gambarkan fungsi tersebut
Jawaban:
Tentukanlah:
a. Banyaknya input X yang harus digunakan sehingga menghasilkan output Q yang maksimum !
b. Banyaknya input X yang harus digunakan dan output Q yang dihasilkan sehingga PT X mendapatkan keuntungan yang maksimum, jika harga output sebesar dua kali harga input. (Catatan: Keuntungan akan maksimum bila produk marjinal (MP) sama dengan rasio antara harga input (PX) dibagi harga output (PQ), sedangkan MP merupakan turunan pertama dari fungsi produksi).
Jawaban
Pendahuluan
Soal matematika di atas merupakan materi dari turunan/diferensial dari persamaan kuadrat. Turunan atau diferensial adalah perhitungan dengan menurunkan pangkat suatu variabel pada fungsi bervariabel tertentu.
Pembahasan
Perhitungan secara diferensial/turunan adalah dengan menurunkan pangkat suatu variabel sebanyak 1 atau x^(n-1) kemudian dikalikan dengan nilai pangkat sebelum diturunkan sehingga menjadi nx^(n-1). Fungsi diferensialnya dinotasikan f(x)' atau df(x)/dx. Sebagai contoh terdapat fungsi persamaan kuadrat yaitu f(x) = ax^2+bx+c.
f(x) = ax^2+bx+cf(x)=ax
2
+bx+c
begin{gathered}f'(x) = 2ax^{1}+1bx^{0}\f'(x) = 2ax+b\{d[f(x)]}/{dx} = 2ax+bend{gathered}
f
′
(x)=2ax
1
+1bx
0
f
′
(x)=2ax+b
d[f(x)]/dx=2ax+b
Perhitungan secara turunan berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.
h(x) = f(x) + g(x) atau h(x) = g(x) + h(x)h(x)=f(x)+g(x)atauh(x)=g(x)+h(x)
h'(x) = f'(x) + g'(x) atau h'(x) = g'(x) + f'(x)h
′
(x)=f
′
(x)+g
′
(x)atauh
′
(x)=g
′
(x)+f
′
(x)
d[h(x)]/dx = d[f(x)]/dx + d[g(x)]/dx atau d[h(x)]/dx = d[g(x)]/dx + d[f(x)]/dxd[h(x)]/dx=d[f(x)]/dx+d[g(x)]/dxataud[h(x)]/dx=d[g(x)]/dx+d[f(x)]/dx
Penyelesaian soal-soal turunan/diferensial persamaan kuadrat.
1. Diketahui:
Fungsi produksi: Q = 150 + 10x² − (2 /3 )x³
Q adalah output dan X adalah input, maka Q=f(X) atau fungsi dari X.
Ditanya:
Nilai X jika nilai fungsi Q bernilai maksimum?
Nilai X jika nilai fungsi Q sebesar dua kali nilai X (Q=2X).
Jawab:
a. Fungsi produksi diubah ke bentuk turunannya yaitu Q' atau dQ/dx.
Q = 150 + 10x² − 2 /3 x³
Q' = 2*10x − 2*(2/3 )x²
Q' = 20x − 2 x²
Output Q bernilai maksimum jika Q'=0
0 = 20x − 2 x²
0 = x(20 − 2x)
0 = 20 − 2x
2x = 20
x = 10
Fungsi Q bernilai maksimum jika X=10.
Q = 150 + 10(10)² − 2 /3 (10)³
Q = 150 + 1000 – 666,66
Q = 483,33
Fungsi Q yang maksimum bernilai Q=483,33.
b. Keuntungan maksimum didapat bila produk marjinal (MP) sama dengan rasio antara harga input (PX) dibagi harga output (PQ), sedangkan MP merupakan turunan pertama dari fungsi produksi yaitu Q' = 20x − 2 x².
MP = PX : PQ
Q' = PX : PQ
Fungsi produksi untuk turunan pertama atau Q'
Q = 150 + 10x² − 2 /3 x³
Q' = 20x − 2 x²
Fungsi produksi untuk turunan kedua atau Q''
Q' = 20x − 2 x²
Q'' = 20 − 4 x
Output Q' bernilai maksimum jika Q''=0
0 = 20 − 4x
4x = 20
x = 5
Fungsi Q' bernilai maksimum jika X=5.
Q' = 20(5) − 2 (5)²
Q' = 100 − 50
Q' = 50
Fungsi Q' yang maksimum bernilai Q'=50 atau MP=50.
Q = 150 + 10(5)² − 2 /3 (5)³
Q = 150 + 250 − 41,66
Q = 358,33
Fungsi Q untuk X=5 bernilai Q=358,33 atau PQ=358,33.
Nilai PX dicari dengan persamaan Q' = PX : PQ
Q' = PX : PQ
50 = PX : 358,33
PX = 358,33*50
PX = 17916,66
Kesimpulan
Nilai input X jika fungsi produksi PT X atau persamaan nilai output yaitu Q=150 + 10Qx² − 2 /3x² bernilai maksimum adalah 2250 atau x=2250.
semoga bermanfaat yaa!!