Himpunan Penyelesaian dari

$( frac{2x}{x - 1} )^{2} + 4 | frac{x}{x - 1} | > 3$
adalah ……
A. { x < -1 U x > 1/3 , x ≠ 1 }
B. { x < -1/3 U x < 1 }
C. { -1 < x < 1 }
D. { -1/3 < x < 1/3 }
E. { -1 < x < 2/3 }

Himpunan Penyelesaian dari

Jawaban Terkonfirmasi

Himpunan penyelesaian dari $displaystyle{left ( frac{2x}{x-1} right )^2+4left | frac{x}{x-1} right |> 3}$ adalah $displaystyle{boldsymbol{A.~left { x< -1~V~x> frac{1}{3},~xneq 1 right }}}$ .

PEMBAHASAN

Tanda mutlak adalah nilai suatu bilangan tanpa tanda plus atau minus. Contoh |2| = |-2| = 2. Pada tanda mutlak berlaku sifat sebagai berikut :

$|x|=left{begin{matrix}x,~~xgeq 0\ \-x,~~x< 0end{matrix}right.$

Untuk permasalahan pertidaksamaan fungsi tanda mutlak, cara penyelesaian yang dapat digunakan adalah :

1. Mengkuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan tanda mutlak.

2. Membagi fungsi dalam beberapa interval.

DIKETAHUI

$displaystyle{left ( frac{2x}{x-1} right )^2+4left | frac{x}{x-1} right |> 3}$

DITANYA

Tentukan himpunan penyelesaiannya.

PENYELESAIAN

$displaystyle{left ( frac{2x}{x-1} right )^2+4left | frac{x}{x-1} right |> 3}$

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2} +frac{4|x|}{|x-1|}> 3}$

x bernilai negatif untuk x < 0 dan positif untuk x ≥ 0.

x-1 bernilai negatif untuk x < 1 dan postif untuk x ≥ 1.

Maka perhitungan kita bagi menjadi 3 interval, yaitu x < 0, 0 ≤ x < 1, dan x ≥ 1.

1. Interval x < 0.

Pada interval ini x bernilai negatif, sehingga |x| = -(x).

Pada interval ini x-1 juga bernilai negatif, sehingga |x-1| = -(x-1).

Maka :

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2} +frac{4|x|}{|x-1|}> 3}$

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2} +frac{4(-x)}{-(x-1)}> 3}$

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2} +frac{4x}{x-1}-3> 0}$

$displaystyle{frac{4x^2+4x(x-1)-3(x-1)^2}{(x-1)^2}> 0}$

$displaystyle{frac{4x^2+4x^2-4x-3x^2+6x-3}{(x-1)^2}> 0}$

$displaystyle{frac{5x^2+2x-3}{(x-1)^2}> 0}$

$displaystyle{frac{(5x-3)(x+1)}{(x-1)^2}> 0}$

Pembuat nol fungsi : $x=-1,~x=frac{3}{5},~dan~x=1$ . Cek menggunakan garis bilangan.

$++o--o++o++~~~~~~to~pilih~daerah~yang~+$

$.~~-1~~~~~frac{3}{5}~~~~~~1$

HP : $x 1$

Karena interval yang dipilih x < 0, maka yang memenuhi hanya HP : x < -1.

2. Interval 0 ≤ x < 1.

Pada interval ini x bernilai positif, sehingga |x| = (x).

Pada interval ini x-1 bernilai negatif, sehingga |x-1| = -(x-1).

Maka :

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2} +frac{4|x|}{|x-1|}> 3}$

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2} +frac{4(x)}{-(x-1)}> 3}$

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2}-frac{4x}{x-1}-3> 0}$

$displaystyle{frac{4x^2-4x(x-1)-3(x-1)^2}{(x-1)^2}> 0}$

$displaystyle{frac{4x^2-4x^2+4x-3x^2+6x-3}{(x-1)^2}> 0}$

$displaystyle{frac{-3x^2+10x-3}{(x-1)^2}> 0~~~~~~...kedua~ruas~dikali~-1}$

$displaystyle{frac{3x^2-10x+3}{(x-1)^2}< 0}$

$displaystyle{frac{(3x-1)(x-3)}{(x-1)^2}< 0}$

Pembuat nol fungsi : $x=frac{1}{3},~x=1,~dan~x=3$ . Cek menggunakan garis bilangan.

$++o--o--o++~~~~~~to~pilih~daerah~yang~-$

$.~~~~~frac{1}{3}~~~~~~1~~~~~~3$

HP : $frac{1}{3}< x< 1~atau~1< x< 3$

Karena interval yang dipilih 0 ≤ x < 1, maka yang memenuhi hanya HP : $boldsymbol{frac{1}{3}< x< 1}$ .

3. Interval x ≥ 1.

Pada interval ini x bernilai positif, sehingga |x| = (x).

Pada interval ini x-1 juga bernilai positif, sehingga |x-1| = (x-1).

Maka :

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2} +frac{4|x|}{|x-1|}> 3}$

$displaystyle{frac{4x^2}{(x-1)^2} +frac{4(x)}{(x-1)}> 3}$

Bentuk pertidaksamaan ini sama dengan no 1, sehingga :

HP : $x 1$ .

Karena interval yang dipilih x ≥ 1, maka yang memenuhi hanya HP : x > 1.

Solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga HP, yaitu :

$HP=left { x< -1~V~frac{1}{3}< x< 1~V~x> 1 right }$ atau bisa ditulis juga sebagai $HP=left { x< -1~V~x> frac{1}{3},~xneq 1 right }$ .

KESIMPULAN

Himpunan penyelesaian dari $displaystyle{left ( frac{2x}{x-1} right )^2+4left | frac{x}{x-1} right |> 3}$ adalah $displaystyle{boldsymbol{A.~left { x< -1~V~x> frac{1}{3},~xneq 1 right }}}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Pertidaksamaan tanda mutlak : brainly.co.id/tugas/41925910
Pertidaksamaan tanda mutlak : brainly.co.id/tugas/37468130
Persamaan tanda mutlak : brainly.co.id/tugas/41981431

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Satu Variabel

Kode Kategorisasi: 10.2.1

Kata Kunci: pertidaksamaan, tanda, mutlak, interval.