Jika segitiga ABC dengan sin²alfa +sin²beta=sin²¥,buktikan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku??

Jika segitiga ABC dengan sin²alfa +sin²beta=sin²¥,buktikan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku??

jika segitiga ABC dengan sin²α +sin²β = sin²γ maka terbukti bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku -siku.

PENDAHULUAN

Segitiga siku – siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya 90° sehingga memiiki sisi tegak vertikal dan horizontal yang saling tegak lurus. Sisi tegak yang saling tegak lurus tersebut membentuk sisi miring sehingga antar sisinya saling berhubungan dan memenuhi Teorema Pythagoras. Secara sederhana Toerema Pythagoras menyatakan bahwa :

$boxed{a^2 + b^2 = c^2} \\boxed{a^2 = c^2 - b^2} \\boxed{b^2 = c^2 - a^2} \\dimana : \a~,~b = Sisi~tegak \c = sisi~miring.$

Pada segitiga siku – siku dapat berlaku juga formula trigonometri dengan Aturan Cosinus berikut

$boxed{a^2 = b^2 +c^2 -2bc.cos(alpha)}\\boxed{b^2 = a^2 +c^2 -2ac.cos(beta)}\\boxed{c^2 = a^2 +b^2 -2ab.cos(gamma)}\\dimana : \alpha = Sudut~didepan~sisi~a \beta = Sudut~didepan~sisi~b \gamma = Sudut~didepan~sisi~c$

Pada persoalan terkait, pembuktian akan menggunakan kedua materi tersebut. mari simak pembahasan berikut!

PEMBAHASAN

DIKETAHUI

$sin^2(alpha) +sin^2(beta) = sin^2(gamma).$

DITANYA

$Buktikan~bahwa~segitiga~ABC~adalah~segitiga~siku-siku~...~?$

JAWAB

Proses pembuktian ini akan menggunakan 2 cara yaitu,

Pembuktian melalui informasi persoalan
Pembuktian melalui aturan cosinus.

1. PEMBUKTIAN MELALUI INFORMASI SOAL

Perhatikan pada lampiran gambar, asumsi bahwa segitiga belum dapat dipastikan bahwa segitiga tersebut siku siku maka dengan meninjau secara trigonometri diperoleh :

$sin(alpha)=frac{CD}{b} ~~~~~~~~~~...~ i\\sin(beta) = frac{CD}{a} ~~~~~~~~~~...~ ii\\sin(beta) = frac{AE}{c} ~~~~~~~~~~...~ iii\\{sin(gamma) = frac{AE}{b}~~~~~~~~~~...~ iv$

Dari $i$ dan $ii$ , diperoleh :

$CD ~~~~~~~= CD\a.sin(beta) ~= b.sin(alpha) \boxed{sin(alpha) ~~= frac{a}{b}sin(beta)}$

Dari $iii$ dan $iv$ diperoleh :

$AE ~~~~~~~= AE \c.sin(beta) ~= b.sin(gamma) \boxed{frac{sin(gamma)}{sin(beta)} ~~= frac{c}{b}}$

Tinjau informasi yang diketahui, dan subtitusi nilai yang telah diperoleh.

$sin^2(alpha)+sin^2(beta) ~~~~~~~~ = sin^2(gamma) \\(frac{a}{b}(sin(beta)))^2 +sin^2( beta ) ~~= sin^2(gamma) \\(frac{a^2}{b^2}(sin^2(beta)) + sin^2(beta) ~~= sin^2(gamma) \\sin^2(beta)(frac{a^2}{b^2} +1) ~~~~~~~~~~~= sin^2(gamma) \\frac{a^2}{b^2} + frac{b^2}{b^2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= (frac{sin(gamma)}{sin(beta)})^2 \\frac{a^2+b^2}{b^2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= (frac{c}{b})^2 \\frac{a^2+b^2}{b^2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= frac{c^2}{b^2}$

$boxed{boxed{a^2 +b^2 = c^2}}$

Persamaan berikut memenuhi Teorema Pythagoras sehingga asumsi bahwa segitiga tersebut bukan siku -siku tidak benar. Jadi dapat dibuktikan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku -siku.

2. PEMBUKTIAN DENGAN ATURAN COSINUS

Tinjau salah satu aturan cosinus yang berlaku.

$boxed{c^2 = a^2+b^2 -2ab.cos(gamma)}~~~~~~~~~~...i$

Dengan melakukan asumsi bahwa segitiga siku -siku maka pasti memenuhi teorema pythagoras sehingga diperoleh :

$boxed{a^2 +b^2 = c^2}~~~~~~~~~~...ii$

Subtitusi $ii$ kedalam $i$

$c^2 ~~~~~~~~~~= a^2 +b^2 -2ab.cos(gamma) \c^2 ~~~~~~~~~~= c^2 -2ab.cos(gamma) \2ab.cos(gamma) = 0 \cos(gamma) ~~~~~= 0 \cos(gamma) ~~~~~= cos(90^{circ}) \boxed{boxed{gamma = 90^{circ}}}$

Terbukti bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku -siku karena salah satu sudutnya adalah 90°

KESIMPULAN

Jadi, jika segitiga ABC dengan sin²α +sin²β = sin²γ maka terbukti bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku -siku.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Materi Trigonometri segitiga siku-siku : brainly.co.id/tugas/21345234

Materi Teorema Pythagoras : brainly.co.id/tugas/21108615

Materi identitas trigonometri : brainly.co.id/tugas/22253542

_______________________________________________

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel : Matematika

Materi : Trigonometri

Kode Kategorisasi : 10.2.7

Kata kunci : Trigonometri, Bukti, segitiga, siku -siku, sin alfa, beta, gamma.

Gambar Jawaban