Menggunakan Teorema Konvergensi Monoton, buktikan bahwa W = ( 6n + 5/ n+3) konvergen dan hitung lim W

$w = ( frac{6n + 5}{n + 3} )$ bantuin yg bsa :'

Menggunakan Teorema Konvergensi Monoton, buktikan bahwa W = ( 6n + 5/ n+3) konvergen dan hitung lim W

Jawaban Terkonfirmasi

Terbukti benar bahwa barisan $W$ konvergen, berdasarkan teorema konvergensi monoton.

Nilai limitnya adalah:
$begin{aligned}lim_{ntoinfty}frac{6n+5}{n+3}=boxed{ bf6 }end{aligned}$
 
___________________

Pendahuluan

Teorema Konvergensi Monoton

Teorema konvergensi monoton menyatakan bahwa setiap barisan yang monoton dan terbatas selalu bersifat konvergen. Hal ini dapat diperinci dengan:

Jika barisan $(u_n)$ monoton naik atau monoton tidak turun dan terbatas di atas, maka barisan $(u_n)$ konvergen.
Jika barisan $(u_n)$ monoton turun atau monoton tidak naik dan terbatas di bawah, maka barisan $(u_n)$ konvergen.

___________________

Pembahasan

Persoalan

Menggunakan Teorema Konvergensi Monoton, buktikan bahwa
$begin{aligned}W=left ( frac{6n+5}{n+3} right )end{aligned}$
konvergen, dan hitung limit W.

PENYELESAIAN

Akan ditunjukkan bahwa $(w_n)$ terbatas di atas dan monoton naik.

$begin{aligned}w_1&=frac{11}{4}=2{,}75\w_2&=frac{17}{5}=3{,}4\w_3&=frac{23}{6}=3{,}8333...\vdots\w_{10}&=frac{65}{13}=5\vdots\w_{23}&=frac{143}{26}=5{,}5\vdots\w_{127}&=frac{767}{130}=5{,}9\vdots\w_{1297}&=frac{7787}{1300}=5{,}99\vdots\w_{12997}&=frac{77987}{13000}=5{,}999\vdots\w_{129997}&=frac{779987}{130000}=5{,}9999\vdotsend{aligned}$

Jadi, suku-suku barisan tersebut adalah 2,75, 3,4, 3,8333…, …, 5, …, 5,5, …, 5,9, …, 5,99, …, 5,999, …, 5,9999, … sehingga jelas bahwa barisan $W$ terbatas di atas.

Kemudian, akan ditunjukkan bahwa barisan $W$ monoton naik, yaitu dengan membuktikan: $w_{n+1} > w_n$ .

$begin{aligned}&w_{n+1}-w_n\&=frac{6(n+1)+5}{(n+1)+3}-frac{6n+5}{n+3}\&=frac{(6n+5)+6}{(n+3)+1}-frac{6n+5}{n+3}\&=frac{left((6n+5)+6right)(n+3)-(6n+5)left((n+3)+1right)}{(n+3)^2+n+3}\&=frac{cancel{(6n+5)(n+3)}+6(n+3)-cancel{(6n+5)(n+3)}-(6n+5)}{(n+3)^2+n+3}\&=frac{6(n+3)-(6n+5)}{(n+3)^2+n+3}\&=frac{cancel{6n}+18-cancel{6n}-5}{(n+3)^2+n+3}\&=frac{13}{(n+3)^2+n+3} > 0,, ninmathbb{N}\end{aligned}$

Dengan $n in mathbb{N}$ , penyebut pasti positif, sehingga nilai pecahan tersebut pasti positif (lebih dari 0). Oleh karena itu, $w_{n+1} > w_n$ .

Jadi, barisan $(w_n)$ atau barisan $W$ tersebut adalah barisan yang monoton naik.

∴ Oleh karena barisan $(w_n)$ atau barisan $W$ tersebut monoton naik dan terbatas di atas, maka:

Terbukti benar bahwa barisan tersebut KONVERGEN.
$blacksquare$

Nilai limit $W$ pada saat $n$ tak hingga:

$begin{aligned}lim_{ntoinfty}frac{6n+5}{n+3}&=lim_{ntoinfty}frac{(6n+5)cdot(1/n)}{(n+3)cdot(1/n)}\&=lim_{ntoinfty}frac{left(6+dfrac{5}{n}right)}{left(1+dfrac{3}{n}right)}\&=frac{limlimits_{ntoinfty}left(6+dfrac{5}{n}right)}{limlimits_{ntoinfty}left(1+dfrac{3}{n}right)}\&=frac{6+0}{1+0}\thereforelim_{ntoinfty}frac{6n+5}{n+3}&=boxed{:bf6:}end{aligned}$
$blacksquare$