Misalkan ℕ² = {(a,b ) | a,b ∈ ℕ} dan ℜ merupakan suatu relasi pada ℕ² dimana (a,b ) ℜ(c,d) jika dan hanya jika ad = bc . Buktikan bahwa ℜ merupakan suatu relasi ekuivalen pada ℕ²​

By Posted on

Misalkan ℕ² = {(a,b ) | a,b ∈ ℕ} dan ℜ merupakan suatu relasi pada ℕ² dimana (a,b ) ℜ(c,d) jika dan hanya jika ad = bc . Buktikan bahwa ℜ merupakan suatu relasi ekuivalen pada ℕ²​

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

PENDAHULUAN

largetext{$begin{aligned}&textsf{Sebuah relasi $Re$ adalah relasi ekuivalen}\&textsf{dalam himpunan $A$ jika memenuhi tiga syarat, yaitu:}\&textsf{1. $Re$ bersifat reflektif}\&quadiffforall xin A, xRe x\&textsf{2. $Re$ bersifat simetris}\&quadiffforall x,yin A, xRe yimplies yRe x\&textsf{3. $Re$ bersifat transitif}\&quadiffforall x,y,zin A, xRe yland yRe zimplies xRe z\end{aligned}$}

PEMBUKTIAN

largetext{$begin{aligned}&boxed{forall:a,b,c,dinmathbb{N}, (a,b)Re(c,d){iff}ad=bc}end{aligned}$}

1. Reflektif

largetext{$begin{aligned}&textsf{Ambil $(a,b)inmathbb{N}timesmathbb{N}$.}\&textsf{Akan ditunjukkan bahwa $(a,b)Re(a,b)$.}\&textsf{Berdasarkan d{e}finisi:}\&quad(a,b)Re(a,b)iff ab=ba\&textsf{Karena $a,binmathbb{N}$, pernyataan $ab=ba$}\&textsf{merupakan pernyataan yang benar.}\&textsf{Oleh karena itu, pada relasi $Re$ berlaku}\&(a,b)Re(a,b).end{aligned}$}

Dengan demikian, sifat reflektif terpenuhi.

2. Simetris

largetext{$begin{aligned}&textsf{Ambil $(a,b),(c,d)inmathbb{N}timesmathbb{N}$ dan $(a,b)Re(c,d)$.}\&textsf{Akan ditunjukkan $(c,d)Re(a,b)$.}\&textsf{Berdasarkan d{e}finisi:}\&quad(a,b)Re(c,d)iff ad=bc\&textsf{Karena $a,b,c,dinmathbb{N}$, pernyataan $ad=bc$}\&textsf{sama artinya dengan $cb=da$.}\&textsf{Berdasarkan d{e}finisi:}\&quad cb=daiff(c,d)Re(a,b)end{aligned}$}

largetext{$begin{aligned}&textsf{Sehingga, dapat ditunjukkan di sini bahwa}\&textsf{jika $(a,b)Re(c,d)$, maka berlaku $(c,d)Re(a,b)$.}\end{aligned}$}

Dengan demikian, sifat simetris terpenuhi.

3. Transitif

largetext{$begin{aligned}&textsf{Ambil $(a,b),(c,d),(e,f)inmathbb{N}timesmathbb{N}$, dan $(a,b)Re(c,d)$,}\&textsf{serta $(c,d)Re(e,f)$.}\&textsf{Akan ditunjukkan $(a,b)Re(e,f)$.}\&textsf{Berdasarkan d{e}finisi:}\&quad(a,b)Re(c,d)iff ad=bc,, textsf{dan}\&quad(c,d)Re(e,f)iff cf=de\&textsf{Karena $ad=bc$, kita bisa peroleh: }c=frac{ad}{b}\&textsf{Substitusi nilai $c$ pada $cf=de$:}\&quad frac{acancel{d}}{b}f=cancel{d}eiff af=beend{aligned}$}

largetext{$begin{aligned}&textsf{Berdasarkan d{e}finisi:}\&quad af=beiff(a,b)Re(e,f)\end{aligned}$}

Dengan demikian, sifat transitif terpenuhi.

KESIMPULAN:

Karena telah ditunjukkan bahwa ketiga syarat ekuivalensi suatu relasi terpenuhi, maka:

Largetext{$begin{aligned}&boxed{ Re textsf{adalah relasi ekuivalen pada $mathbb{N}timesmathbb{N}$} }end{aligned}$}