Nilai maksimum dari dengan x, y, z ∈ [0,2021] adalah ...

A. $sqrt{6063}$
B. $2sqrt{2021}$
C. $sqrt{4042}+sqrt{2021}$
D. $2sqrt{2021}+sqrt{4042}$
E. $2021sqrt{2}+2021$

Nilai maksimum dari dengan x, y, z ∈ [0,2021] adalah …

Jawaban Terkonfirmasi

Nilai maksimum dari $sqrt{|x-y|}+sqrt{|y-z|}+sqrt{|z-x|}$ adalah:
$largetext{$begin{aligned}boxed{,bfsqrt{4042}+sqrt{2021},}end{aligned}$}$
(opsi C)
 

Pembahasan

Kita akan menentukan nilai maksimum dari

$sqrt{|x-y|}+sqrt{|y-z|}+sqrt{|z-x|}$

dengan $x,y,zinleft [,0,2021, right ]$

Kita dapat mengasumsikan $0 le x le y le z le 2021$ .

Karena $|x-y| = y-x$ , $|y-z|=z-y$ , dan jelas $|z-x| = z-x$ , maka $sqrt{|x-y|}+sqrt{|y-z|}+sqrt{|z-x|}$ ekuivalen dengan $sqrt{y-x}+sqrt{z-y}+sqrt{z-x}$ .

Misalkan $M = sqrt{y-x}+sqrt{z-y}+sqrt{z-x}$ .

Ketaksamaan AM-QM dengan 2 data $a$ dan $b$ memberikan:

$begin{aligned}AM &le QM\frac{a+b}{2} &le sqrt{frac{a^2+b^2}{2}}\a+b &le 2sqrt{frac{a^2+b^2}{2}}\Rightarrow a+b &le sqrt{2(a^2+b^2)}\end{aligned}$

Ambil $a = sqrt{y-x}$ dan $b=sqrt{z-y}$ . Maka,

$begin{aligned}sqrt{y-x}+sqrt{z-y} &le sqrt{2left[(y-x)+(z-y)right]}\Rightarrowsqrt{y-x}+sqrt{z-y} &le sqrt{2left(z-xright)}quad...(1)end{aligned}$

Substitusikan $(1)$ ke dalam $M$ .

$begin{aligned}M&=sqrt{y-x}+sqrt{z-y}+sqrt{z-x}\Rightarrow M&le sqrt{2left(z-xright)} +sqrt{z-x}\Rightarrow M&le left(sqrt{2}+1right)sqrt{z-x}\end{aligned}$

$M$ akan maksimum, atau dengan kata lain tanda ketaksamaan menjadi kesamaan, jika $z$ maksimum dan $x$ minimum. Oleh karena itu, ambil $z=bf2021$ dan $x=bf0$ .

$begin{aligned}M&=left(sqrt{2}+1right)sqrt{2021}\therefore M&=bfsqrt{4042}+sqrt{2021}end{aligned}$

Lalu, bagaimana nasib $y$ ? Dengan pemilihan kondisi seperti disebutkan di atas, nilai $y$ sudah pasti $2021/2$ . Tidak wajib dihitung, namun kita hitung saja.

$begin{aligned}sqrt{4042}+sqrt{2021}&=sqrt{y-x}+sqrt{z-y}+sqrt{z-x}\sqrt{4042}+sqrt{2021}&=sqrt{y}+sqrt{2021-y}+sqrt{2021}\sqrt{4042}-sqrt{y}&=sqrt{2021-y}\4042+y-2sqrt{4042y}&=2021-y\2021+2y&=2sqrt{4042y}\2021+2y&=2sqrt{2021}sqrt{2y}\2021+2y-2sqrt{2021}sqrt{2y}&=0\left(sqrt{2021}-sqrt{2y}right)^2&=0\sqrt{2y}&=sqrt{2021}\Rightarrow y&=frac{2021}{2}end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Nilai maksimum dari $sqrt{|x-y|}+sqrt{|y-z|}+sqrt{|z-x|}$ adalah:
$largetext{$begin{aligned}boxed{,bfsqrt{4042}+sqrt{2021},}end{aligned}$}$

$blacksquare$