Pembuktian teorema limit fungsi (ada 5 teorema)

Jika bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka: 《》
1. Nilai limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta itu sendiri.
《》
2. Nilai limit suatu identitas sama dengan nilai pendekatan variabelnya.
《》
3. Limit hasil kali konstanta dengan fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu.
《》
4. Limit jumlah fungsi-fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi.
《》
5. Limit selisih fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.
《》
6. Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.
《》
7. Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limit fungsi, dengan syarat limit penyebut tidak sama dengan nol.
《》
8. Limit fungsi pangkat n, sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.
《》
9. Limit akar pangkat n dari fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu dengan syarat limit fungsi tersebut tidak negatif, untuk n bilangam genap.

Secara intuitif, teorema ini dengan sederhana menyatakan bahwa jumlah perubahan infinitesimal suatu kuantitas terhadap waktu (atau terhadap kuantitas lainnya) akan menumpuk menjadi perubahan total kuantitas.
Untuk memahami pernyataan ini, diberikan sebuah contoh: Misalkan
sebuah partikel berpindah mengikuti garis lurus dengan posisinya
diberikan sebagai x(t), dengan t adalah waktu dan x(t) berarti x adalah fungsi dari t. Turunan dari fungsi ini sama dengan perbuahan infinitesimal kuantitas, dx, per perubahan infinitesimal waktu, dt
(tentu saja turunannya sendiri tergantung pada waktu). Didefinisikan
pula perubahan jarak per perubahan waktu ini sebagai kecepatan v partikel.