Penyelesaian persamaan diferensial dari Y"+25y=5x^2+x

Penyelesaian persamaan diferensial dari Y”+25y=5x^2+x

Jawab:

$displaystyle y''+25y=5x^2+x\\-text{Solusi homogen}\y''+25y=0\\text{Persamaan karakteristik}\r^2+25=0\r_{1,2}=frac{-bpm isqrt{4ac-b^2}}{2a}\r_{1,2}=frac{-0pm isqrt{4cdot1cdot25-0^2}}{2cdot1}\r_{1,2}=0pmfrac{isqrt{100}}{2}\r_{1,2}=0pmfrac{10i}{2}\r_{1,2}=underset{alpha}{underbrace{0}}pmunderset{beta}{underbrace{5}}i\\y_h=e^{alpha x}(c_1cosbeta x+c_2sinbeta x)\y_h=e^{0x}(c_1cos5x+c_2sin5x)\y_h=c_1cos5x+c_2sin5x$

$displaystyle-text{Solusi partikular}\s(x)=5x^2+xRightarrow y_p=Ax^2+Bx+C\\y_p''+25y_p=s(x)\(2A)+25(Ax^2+Bx+C)=5x^2+x\25Ax^2+25Bx+(25C+2A)=5x^2+x\\25A=5\A=frac15\\25B=1\B=frac1{25}\\25C+2A=0\25C=-2A\25C=-2cdotfrac15\C=-frac2{125}\\therefore y_p=frac15x^2+frac1{25}x-frac{2}{125}$

$displaystyle y=y_h+y_p\y=c_1cos5x+c_2sin5x+frac15x^2+frac1{25}x-frac2{125}$

Beberapa konsep yang dipakai:

$displaystyletriangleright~text{PD}:y''+by'+cy=s(x)Rightarrow y=y_h+y_p\~~~y_h=left{begin{matrix}c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}&;&r^2+br+c=(r-r_1)(r-r_2)=0\c_1e^{r_1x}+c_2xe^{r_1x}&;&r^2+br+c=(r-r_1)^2=0\e^{alpha x}(c_1cosbeta x+c_2sinbeta x)&;&b^2-4c$