Perhatikan persamaan diferensial berikut. Selidiki apakah persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial eksak!. Jika ya, carilah solusinya. Bila tidak, jelaskan alasanmu.

a. 5x + 10y + 10x + 6y dy = 0
b.12x + 7y dx + 13x + 8y dy = 0

Perhatikan persamaan diferensial berikut. Selidiki apakah persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial eksak!. Jika ya, carilah solusinya. Bila tidak, jelaskan alasanmu.

Jawaban Terkonfirmasi

Terdapat dua persamaan diferensial (PD) yang tercantum pada soal. Ketika diperiksa, hanya PD berikut yang merupakan PD eksak: (5x+10y)dx+(10x+6y)dy = 0. PD: (12x+7y)dx+(13x+8y)dy = 0 tidak eksak karena $bffrac{partial M}{partial y}$ ≠ $bffrac{partial N}{partial x}$ , dengan M = 12x+7y dan N = 13x+8y. Solusi dari PD eksak tersebut adalah ⁵⁄₂x²+10xy+3y² = C.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Sepertinya ada kesalahan tulis pada PD yang diberikan. Kedua PD tidak diberikan tanda kurung, seperti yang tertulis pada paragraf pertama di atas. Lalu, pada PD pertama (poin a), tidak ada notasi dx, yang seharusnya ada seperti yang tertulis pada paragraf pertama di atas.

Diketahui:

Dua PD:

a. (5x+10y)dx+(10x+6y)dy = 0

b. (12x+7y)dx+(13x+8y)dy = 0

Ditanya: PD yang merupakan PD eksak, solusi PD eksak, dan alasan PD yang bukan PD eksak

Jawab:

Untuk poin a:

Pemisalan

Misalkan bahwa:

M = 5x+10y

N = 10x+6y

Turunan parsial

$frac{partial M}{partial y}$ = 10

$frac{partial N}{partial x}$ = 10

Penentuan PD eksak

Karena $frac{partial M}{partial y}$ = $frac{partial N}{partial x}$ , maka PD ini adalah PD eksak.

Pemisalan fungsi konstan

Misalkan F(x,y) = C₁ yang merupakan fungsi konstan.

Informasi tersirat dari PD

Berdasarkan bentuk PD: (5x+10y)dx+(10x+6y)dy = 0, diketahui:

$frac{partial F}{partial x}$ = 5x+10y…(*)

$frac{partial F}{partial y}$ = 10x+6y…(**)

Integral parsial terhadap x

Persamaan (*) diintegral parsial terhadap x, sehingga diperoleh:

F = ⁵⁄₂x²+10xy+ψ(x,y)

Turunan parsial F terhadap y

$frac{partial F}{partial y}$ = 10x+ψ'(x,y)

Perbandingan turunan parsial dengan persamaan

Dengan persamaan (**) dan turunan yang baru diperoleh sebelumnya, maka:

10x+ψ'(x,y) = 10x+6y

ψ'(x,y) = 6y

ψ(x,y) = 3y²+C₂

Solusi

F = ⁵⁄₂x²+10xy+3y²+C₂ = C₁

⁵⁄₂x²+10xy+3y² = C, dengan C = C₁-C₂

Jadi, solusinya adalah ⁵⁄₂x²+10xy+3y² = C.

Untuk poin b:

Pemisalan

Misalkan bahwa:

M = 12x+7y

N = 13x+8y

Turunan parsial

$frac{partial M}{partial y}$ = 7

$frac{partial N}{partial x}$ = 13

Penentuan PD eksak

Karena $frac{partial M}{partial y}$ ≠ $frac{partial N}{partial x}$ , maka PD ini bukan PD eksak.

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Menentukan Solusi dari PD Eksak brainly.co.id/tugas/29348546

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1