Pertidaksamaan |x² – 3| < 2x mempunyai penyelesaian

By Posted on

Pertidaksamaan |x² – 3| < 2x mempunyai penyelesaian

Jawaban Terkonfirmasi

Pertidaksamaan |x² – 3| < 2x mempunyai penyelesaian {x | 1 < x < 3, x ∈ R}. Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan tersebut dengan bilangan nol pada garis bilangan. Jadi karena jarak hasilnya selalu positif, maka nilai mutlakpun hasilnya selalu positif

Definisi nilai mutlak

  • |x| = x jika x ≥ 0
  • |x| = –x jika x < 0

Pertidaksamaan nilai mutlak

  • |f(x)| > a maka [f(x)]² > a²
  • |f(x)| < a maka [f(x)]² < a²
  • |f(x)| > |g(x)| maka [f(x)]² > [g(x)]²
  • |f(x)| < |g(x)| maka [f(x)]² < [g(x)]²

Pembahasan

|x² – 3| < 2x

Karena |x² – 3| selalu bernilai positif, maka |x² – 3| > 0 sehingga

|x² – 3| < 2x

⇒ 0 < |x² – 3| < 2x

artinya

  • |x² – 3| < 2x
  • 0 < 2x

|x² – 3| < 2x

(x² – 3)² < (2x)²

x⁴ – 6x² + 9 < 4x²

x⁴ – 6x² + 9 – 4x² < 0

x⁴ – 10x² + 9 < 0

(x² – 1)(x² – 9) < 0

(x + 1)(x – 1)(x + 3)(x – 3) < 0

Nilai x pembuat nolnya adalah:

  • (x + 1) = 0 ⇒ x = – 1
  • (x – 1) = 0 ⇒ x = 1
  • (x + 3) = 0 ⇒ x = –3
  • (x – 3) = 0 ⇒ x = 3

Buat garis bilangan, diperoleh:

++++ (–3) ——– (–1) ++++++ (1) ——- (3) +++++

Karena kurang dari nol maka kita ambil daerah yang negatif yaitu

–3 < x < –1 atau 1 < x < 3

Tetapi karena ada syarat 1 lagi yaitu:

0 < 2x

⇒ 2x > 0

⇒ x > 0

maka selesaian yang memenuhi adalah 1 < x < 3

Jadi penyelesaian dari |x² – 3| < 2x adalah

= 1 < x < 3

= {x | 1 < x < 3, x ∈ R}

Cara lain

x² – 3 = 0

(x + √3)(x – √3) = 0

x = –√3  atau x = √3

Garis bilangan:

++++ (–√3) —— (√3) +++++

Berdasarkan garis bilangan di atas:

  • |x² – 3| = x² – 3 jika x ≤ –√3 atau x ≥ √3
  • |x² – 3| = –(x² – 3) = 3 – x² jika –√3 ≤ x ≤ √3

Untuk x ≤ –√3 atau x ≥ √3

|x² – 3| < 2x

x² – 3 < 2x

x² – 2x – 3 < 0

(x – 3)(x + 1) < 0

x = 3 atau x = –1

Garis bilangan

+++++ (–1) —– (3) +++++

Karena kurang dari nol, maka kita ambil daerah yang negatif yaitu (–1 < x < 3), tetapi karena syaratnya  (x ≤ –√3 atau x ≥ √3), maka  

…………..……. (–1) xxxxxxxxxxxxxx (3) ………..

xxxx (–√3) ……………….. (√3) xxxxxxxxxxxxxx

Irisannya adalah  √3 ≤ x < 3

Untuk –√3 ≤ x ≤ √3

|x² – 3| < 2x

3 – x² < 2x

0 < x² + 2x – 3

x² + 2x – 3 > 0

(x + 3)(x – 1) < 0

x = –3 atau x = 1

Garis bilangan

+++++ (–3) —– (1) +++++

Karena lebih dari nol, maka kita ambil daerah yang positif yaitu:

(x < –3 atau x < 1), tetapi karena syaratnya  (–√3 ≤ x ≤ √3), maka  

xxxx (–3) ………….……… (1) xxxxxxxxxxxxxxx

……………… (–√3) xxxxxxxxxxxx (√3) ………….

Irisannya:  1 < x ≤ √3

Jadi penyelesaian dari |x² – 3| < 2x adalah gabungan dari (1 < x ≤ √3) dengan (√3 ≤ x < 3) yaitu

= 1 < x < 3

= {x | 1 < x < 3, x ∈ R}

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang nilai mutlak:

————————————————

Detil Jawaban  

Kelas : 10

Mapel : Matematika  

Kategori : Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Satu Variabel

Kode : 10.2.1

Kata Kunci : pertidaksamaan, nilai mutlak, penyelesaian