Q.Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Q.Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Jawaban Terkonfirmasi

Jika yang dibuktikan adalah 6n+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ, maka jawabannya adalah: TIDAK TERBUKTI.

Namun jika yang dibuktikan adalah 6ⁿ+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ, maka jawabannya adalah: TERBUKTI.

Pembahasan

Kasus 1

Jika yang dibuktikan adalah 6n+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ.

Kita tahu bahwa dengan bilangan n yang tidak memiliki angka satuan 6, 6n+4 tidak habis dibagi 5.

Contoh: 12+4=16, 18+4=22, 600+4=604, dsb, semua contoh tersebut tidak habis dibagi 5.

Namun untuk n yang memiliki angka satuan 6, sebagai contoh: 6+4=10, 36+4=40, 96+4 = 100, dsb, semua contoh ini habis dibagi 5.

KESIMPULAN

∴ 6n+4 habis dibagi 5 hanya untuk beberapa n ∈ ℕ, tidak untuk tiap n ∈ ℕ.

$blacksquare$

Kasus 2

Jika yang dibuktikan adalah 6ⁿ+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ.

Metode 1

Klaim: Semua nilai $6^n$ memiliki satuan 6.

Bukti: Dengan teorema binomial, diperoleh:

$begin{aligned}6^n&=(5+1)^n\&=binom{n}{0}5^n1^0+binom{n}{1}5^{n-1}1^1+binom{n}{2}5^{n-2}1^2+{dots}+binom{n}{n}5^01^n\&=underbrace{binom{n}{0}5^n+binom{n}{1}5^{n-1}+binom{n}{2}5^{n-2}}_{begin{array}{c}5k,, kinmathbb{N}end{array}}+{dots}+1\6^n&=5k+1,, kinmathbb{N}end{aligned}$

Karena $6^n$ pasti bilangan genap, maka $5k$ harus merupakan kelipatan 5 yang ganjil. Artinya, $5k$ memiliki angka satuan 5. Akibatnya, $5k+1$ memiliki angka satuan 6.

___________________

Dari klaim tersebut, $6^n+4 = 5k+1+4=5k+5=5(k+1)$ .

KESIMPULAN:

Dengan demikian, terbukti bahwa 6ⁿ+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ.

$blacksquare$

Metode 2: Induksi Matematika

Basis Induksi

Untuk $n=1$ , jelas benar bahwa $6+4=10$ habis dibagi 5.

Asumsi/Hipotesis

Andaikan benar untuk $n=k$ , yaitu $6^k+4$ habis dibagi 5, maka harus dibuktikan benar pula untuk $n=k+1$ , yaitu $6^{k+1}+4$ habis dibagi 5.

$begin{aligned}&6^{k+1}+4\&=6^{k+1}+24-20\&=6cdot6^k+6cdot4-20\&=6(6^k+4)-20\& left[ begin{aligned}&5midleft(6^k+4right)\&{Rightarrow} 6^k+4=5m, minmathbb{N}end{aligned}right.\&=6(5m)-5cdot4\&=5(6m)-5cdot4\&=5(6m-4)\&therefore boxed{,5:mid:left(6^{k+1}+4right),}end{aligned}$

KESIMPULAN:

Karena basis induksi terbukti benar, dan dengan asumsi/hipotesis di atas kita dapat membuktikan benar pula pada langkah induksi, dapat disimpulkan bahwa 6ⁿ+4 habis dibagi 5 untuk tiap n ∈ ℕ.

$blacksquare$