Quiz - Universityku

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 8x + 4y + 10 = 0 dititik (3,1)

Quiz

Jawaban Terkonfirmasi

Persamaan garis singgung tersebut adalah x = 3y, atau ekuivalen dengan y = x/3.
 

Pembahasan

Diketahui
Persamaan lingkaran $L : x^2 + y^2 - 8x + 4y + 10 = 0$

Ditanyakan
Persamaan garis singgung lingkaran $L$ di titik $(3, 1)$

PENYELESAIAN

Terlebih dahulu kita tentukan bentuk normal dari persamaan lingkaran $L$ , agar mendapatkan titik pusat lingkaran dan radiusnya.

$begin{aligned}&L:x^2 + y^2 - 8x + 4y + 10 = 0\&Rightarrow x^2-8x+y^2+4y=-10\&Rightarrow x^2-8x+underline{16}+y^2+4y+underline{4}=-10+underline{16}+underline{4}\&Rightarrow (x-4)^2+(y+2)^2=10\&therefore textsf{Titik pusat}:P(bf4,-2)\&therefore r^2={bf10}implies r=bfsqrt{10}\end{aligned}$

Persamaan garis singgung lingkaran $L$ di titik $(3,1)$ dapat ditentukan dengan setidaknya dua cara.

…………………………….

Cara Pertama

Persamaan garis singgung lingkaran $L$ dengan pusat $P(a,b)$ di titik $(x_1,y_1)$ adalah:
$begin{aligned}boxed{:(x_1-a)(x-a)+(y_1-a)(y-a)=r^2:}end{aligned}$

Dengan $a=4$ , $b=-2$ , $x_1=3$ , $y_1=1$ , dan $r^2=10$ diperoleh:
$begin{aligned}&(3-4)(x-4)+(1-(-2))(y-(-2))=10\&Rightarrow -(x-4)+3(y+2)=10\&Rightarrow -x+4+3y+6=10\&Rightarrow -x+3y+10=10\&Rightarrow -x+3y=0\&therefore boxed{:bf x=3y:} equiv boxed{:bf y=frac{x}{3}:}end{aligned}$

…………………………….

Cara Kedua

Kita bisa juga menggunakan derivatif atau turunan pertama untuk mencari gradien persamaan garis singgung, lalu menggunakan rumus persamaan garis lurus.

Untuk lingkaran $L:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , turunan pertama terhadap $x$ dapat dinyatakan dan diselesaikan dengan persamaan diferensial berikut.
$begin{aligned}&2(x-a)+2(y-b)frac{dy}{dx}=0\&Rightarrow (x-a)+(y-b)frac{dy}{dx}=0\&Rightarrow frac{dy}{dx}=frac{-(x-a)}{y-b}\&Rightarrow frac{dy}{dx}=frac{a-x}{y-b}\end{aligned}$

Kita tahu bahwa persamaan garis lurus dengan gradien $m$ yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dinyatakan oleh:
$y-y_1=m(x-x_1)$

Gradiennya adalah turunan pertama di atas. Maka:

$begin{aligned}m&=frac{dy}{dx}bigg|_{x=x_1,y=y_1}\&=frac{a-x}{y-b}bigg|_{x=x_1,y=y_1}\therefore m&=frac{a-x_1}{y_1-b}end{aligned}$

Sehingga, persamaan garis singgung lingkaran $L:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ juga dapat dinyatakan oleh:
$begin{aligned}boxed{:y-y_1=frac{a-x_1}{y_1-b}cdot(x-x_1):}end{aligned}$

Dengan $a=4$ , $b=-2$ , $x_1=3$ , dan $y_1=1$ diperoleh:

$begin{aligned}&&!!!y-1&=frac{4-3}{1-(-2)}cdot(x-3)\&&&=frac{1}{3}cdot(x-3)\&Rightarrow&!!!y-1&=frac{x}{3}-1\&Rightarrow&y&=frac{x}{3}-1+1\&therefore&&boxed{:bf y=frac{x}{3}:} equiv boxed{:bf x=3y:}end{aligned}$
$blacksquare$
 

KESIMPULAN

∴ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 10=0$ di titik $(3,1)$ adalah x = 3y, atau ekuivalen dengan y = x/3.