QUIZ! - Universityku

Terdapat sebuah fungsi kuadrat f(x) dan g(x) dimana koefisien x² dari kedua fungsi f dan h adalah 1,

Jika diketahui
f(3)+f(2022)+f(2022²)=g(3)+g(2022)+g(2022²)

maka tentukanlah nilai x yang memenuhi f(x)=g(x)

QUIZ!

Jawaban Terkonfirmasi

f(x) = g(x) dipenuhi oleh x = 1363503
(dengan syarat koefisien x dan konstanta pada masing-masing fungsi f(x) dan g(x) berbeda)
 

Pembahasan

Diketahui
$f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi kuadrat, di mana koefisien $x^2$ pada kedua fungsi adalah 1, dan memenuhi:
$f(3)+f(2022)+fleft(2022^2right)=g(3)+g(2022)+gleft(2022^2right)$

Ditanyakan
Nilai $x$ yang memenuhi $f(x)=g(x)$

PENYELESAIAN

Anggaplah $f(x)=ax^2+b_1x+c_1$ dan $g(x)=ax^2+b_2x+c_2$ .
Koefisien suku $x^2$ sama, sehingga dapat dinyatakan dengan $a$ saja, untuk semua $a$ (tidak hanya untuk $a=1$ ).

Jika nilai parameter $x_1$ hingga $x_n$ sama, dan diberikan kepada kedua fungsi tersebut, maka:

$begin{aligned}&f(x_1)+f(x_2)+{dots}+f(x_n)=g(x_1)+g(x_2)+{dots}+g(x_n)\&{Rightarrow }sum_{i=1}^{n}left(cancel{a{x_i}^2}+b_1x_i+c_1right)=sum_{i=1}^{n}left(cancel{a{x_i}^2}+b_2x_i+c_2right)\&{Rightarrow }sum_{i=1}^{n}left(b_1x_i+c_1right)=sum_{i=1}^{n}left(b_2x_i+c_2right)\&{Rightarrow }left(b_1sum_{i=1}^{n}x_iright)+nc_1=left(b_2sum_{i=1}^{n}x_iright)+nc_2\&{Rightarrow }(b_1-b_2)sum_{i=1}^{n}x_i=n(c_2-c_1)end{aligned}$
$begin{aligned}&{Rightarrow }frac{c_2-c_1}{b_1-b_2}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}x_iquad...(i)end{aligned}$

Dengan asumsi $b_1ne b_2$ (dan oleh karena itu $c_1ne c_2$ ), karena koefisien suku $x^2$ pada $f(x)$ dan $g(x)$ sama, maka hal ini menyisakan kesamaan nilai kedua fungsi tersebut pada bagian linearnya, yaitu $f(x)=b_1x+c_1$ dan $g(x)=b_2x+c_2$ , sehingga:

$begin{aligned}&&f(x)&=g(x)\&Rightarrow&b_1x+c_1&=b_2x+c_2\&Rightarrow&!!!(b_1-b_2)x&=c_2-c_1\&Rightarrow&x&=frac{c_2-c_1}{b_1-b_2}\&Rightarrow&xrightarrow{begin{array}{c}(i)end{array}}x&=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}x_iend{aligned}$

Dengan $x_1=3$ , $x_2=2022$ , dan $x_3=2022^2$ :

$begin{aligned}x&=frac{1}{3}left(3+2022+2022^2right)\&=frac{1}{3}left(3+3cdot674+(3cdot674)^2right)\&=frac{1}{cancel{3}}cdotcancel{3}left(675+3cdot674^2right)\&=675+3cdot454276\&=675+1362828\therefore x&=boxed{:bf1363503:}end{aligned}$
(catatan: asumsi di atas berlaku)

$blacksquare$

Jawaban:

1363503

Penjelasan:

Penjelasannya ada di gambar.

Catatan: Ketika (a – c) = 0, maka (d – b) = 0 yang berarti f(x) = g(x).

Ketika (a – c) ≠ 0, maka x = 1363503

Gambar Jawaban