Selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah 3dm. jika selisih luas sisi kubus itu 234dm2 , selisih volume kedua kubus adalah ?

Kelas : IX (3 SMP)
Materi : Bangun Ruang
Kata Kunci : kubus, rusuk, luas sisi, volume, selisih
Pembahasan :

Kubus adalah bangun
ruang yang semua sisi atau bidang berbentuk persegi.

Kubus ABCD.EFGH
memiliki 6 buah bidang, yaitu : ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.

Perpotongan dua buah
bidang pada kubus disebut rusuk.

Kubus ABCD.EFGH
memiliki 12 buah rusuk, yaitu : AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, BF, CG, dan
DH.

Rusuk AB, BC, CD,
dan AD disebut rusuk alas, rusuk  AE, BF, CG, dan DH disebut rusuk tegak,
dan rusuk EF, FG, GH, dan EH disebut rusuk atas.

Titik potong antara
tiga buah rusuk pada kubus disebut titik sudut.

Kubus ABCD.EFGH
memiliki 8 buah titik sudut,yaitu : A, B, C, D, E, F, G, dan H.

Diagonal bidang
kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada
setiap bidang. Setiap bidang pada kubus memiliki dua buah diagonal bidang.

Kubus ABCD.EFGH
memiliki 12 buah diagonal bidang, yaitu : AC, BD, AF, BE, AH, DE, BG, CF, CH,
DG, EG, dan FH.

Kita menggunakan
rumus Phytagoras untuk menentukan panjang diagonal bidang.

Misalkan panjang
diagonal bidang AC,

AB² + BC² = AC²

⇔ s² + s² = AC²

⇔ AC² = 2s²

⇔ AC = s√2

Jadi, panjang
diagonal bidang AC adalah s√2.

Diagonal ruang kubus adalah ruas garis yang
menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap ruang.
Diagonal-diagonal itu sama panjang dan berpotongan pada satu titik.

Kubus ABCD.EFGH
memiliki 4 buah diagonal ruang, yaitu : AG, BH, CE, dan DF.

Kita menggunakan
rumus Phytagoras untuk menentukan panjang diagonal ruang kubus.

Misalkan panjang
diagonal ruang kubus AG,

AB² + BC² + CG² =
AG²

⇔ s² + s² + s² = AG²

⇔ AG² = 3s²

⇔ AG = s√3

Jadi, panjang
diagonal ruang kubus adalah s√3.

Bidang diagonal
kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang.

Kubus ABCD.EFGH
memiliki 6 buah bidang diagonal, yaitu : ABGH, CDEF, ADGF, BCHE, ACGE, dan
BDHF.

Bidang yang sejajar
dengan bidang gambar dinamakan bidang frontal dan bidang yang tegak lurus
dengan bidang gambar dinamakan bidang ortogonal.
Kubus ABCD.EFGH memiliki 1 buah
bidang frontal, yaitu : EFGH serta memiliki 4 buah bidang orthogonal, yaitu :
ADHE, BCGF, ABFE, dan CDHG.

Diketahui sisi kubus = s.
Jumlah panjang rusuk balok atau panjang kerangka balok adalah 

n = 12 . s

Luas permukaan kubus
adalah

L = 6 . (s . s)
⇔ L = 6 . s²

Volume kubus adalah

V = s . s . s

⇔ V = s³

Mari kita lihat soal tersebut.

Diketahui selisih panjang rusuk dari dua buah kubus adalah 3 dm. Artinya

rusuk kubus I : p

rusuk kubus II : q

Jadi, selisih rusuk I dan II adalah p – q = 3… (1)

Selisih luas sisi kubus I dan II adalah 234 dm², artinya

Ls₁ – Ls₂ = 234

⇔ (p x p) – (q x q) = 234

⇔ p² – q² = 234

⇔ (p – q) . (p + q) = 234

⇔ 3 . (p + q) = 234

⇔ p + q = 78 … (2)

Kemudian, persamaan (1) dan (2) membentuk sistem persamaan linear, sehingga kita dapat menentukan p dan q dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi. Pertama, kita eliminasi q, sehingga

p – q = 3

p + q = 78

_________+

⇔ 2p = 81

⇔ p = 81/2

Kedua, kita substitusikan p = 81/2 ke persamaan (1), diperoleh

p – q = 3

⇔ q = p – 3

⇔ q = 81/2 – 3

⇔ q = 81/2 – 6/2

⇔ q = 75/2

Volume kubus I adalah 

V₁ = p³

⇔ V₁ = (81/2)³

⇔ V₁ = 531441/8

Volume kubus II adalah

V₂ = q³

⇔ V₂ = (75/2)³

⇔ V₂ = 421875/8

Selisih volume kubus I dan II adalah

V₁ – V₂ = 531441/8 – 421875/8

⇔ V₁ – V₂ = 109566/8

Jadi, jika selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah 3 dm dan selisih luas sisi kubus adalah 234 dm², maka selisih volume kedua kubus adalah 109566/8.

Semangat Belajar!