Soal

1.Persamaan Trigonometri

jika sin x = sin y

maka x = y + k. 360 atau x = (180- y) +k. 360 dgn k ∈ C

.

sin 3x = sin 36

3x= 36 + k. 360 atau 3x = (180-36) + k. 360

x = 12 + k. 120 atau x = 48 +k. 120

i) k = 0 , x = 12 atau x = 48

ii) k = 1 , x = 132 atau x = 168

iii) k= 2, x = 252 atau 288

iv) k= 3 , x > 360

HP x = { 12, 48, 132, 168, 252, 288)

2.2 cos (x – 60ᵒ) = √3 untuk 0ᵒ ≤ x ≤ 360ᵒ

cos (x – 60ᵒ) = ½ √3

cos (x – 60ᵒ) = cos 30ᵒ

(x – 60ᵒ) = 30ᵒ + k . 360ᵒ atau (x – 60ᵒ) = –30ᵒ + k . 360ᵒ

x = 30ᵒ + 60ᵒ + k . 360ᵒ x = –30ᵒ + 60ᵒ + k . 360ᵒ

x = 90ᵒ + k . 360ᵒ x = 30ᵒ + k . 360ᵒ

Jika

k = 0 ⇒ x = 90ᵒ x = 30ᵒ

k = 1 ⇒ x = 450ᵒ (TM) x = 390ᵒ (TM)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {30ᵒ, 90ᵒ}

3.Jawab:

A. HP ={80, 100}

B. HP = {112,5° ; 247,5°}

C. HP = {17°, 62°}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

A. sin x = sin 80°

(Ingat juga bahwa 0° ≤ x ≤ 360°)

perhatikan bahwa sin 80° bernilai positif, maka x adalah sudut yang terletak di kuadran I dan II (karena hasil sinus positif), maka

jika x di kuadran I

sin x = sin 80°

x = 80°

jika x di kuadran II

sinus di kuadran II bentuknya sebagai berikut

sin (180° – a) = sin a

sin (180° – 80°) = sin 80°

sin 100° = sin 80°

sehingga x = 100°

maka HP ={80, 100}

B. cos x = cos 5/8 π

cos x = cos (5/8 x 180)°

cos x = cos 112,5°

(Ingat juga bahwa 0°≤ X ≤ 2π atau bisa ditulis 0° ≤ x ≤ 360°)

perhatikan bahwa

cos (180° – 67,5) = – cos 67,5°

cos 112,5° = – cos 67,5°

maka persamaan juga dapat ditulis menjadi

cos x = – cos 67,5°

cos x akan bernilai negatif jika terletak di kuadran II dan III, maka

jika x di kuadran 2

cos x = – cos 67,5°

cos x = cos (180° – 67,5°)

cos x = cos 112,5°

maka x = 112,5°

jika x dikuadran III

bentuk cosinus di kuadran III sebagai berikut

cos (180° + a) = -cos a

cos (180° + 67,5°) = – cos 67,5°

cos 247,5° = – cos 67,5°

sehingga x = 247,5°

maka HP = {112,5° ; 247,5°}

c. tan 4x = tan 68°

perhatikan bahwa tan 68° terletak di kuadran I sehingga positif, agar tan 4x positif, maka 4x adalah sudut yang ada di kuadran I dan III, maka

jika 4x ada di kuadran I

tan 4x = tan 68°

4x = 68°

x = (68/4)° = 17°

jika 4x ada di kuadran III

bentuk tangen di kuadran III sebagai berikut

tan (180° + a) = tan a

tan (180° + 68°) = tan 68°

tan 248° = tan 68°

dari sini didapat

4x = 248°

x = (248/4)° = 62°

maka HP = {17°, 62°}

4.Tinggi air dalam meter disuatu pelabuhan diperkirakan dengan rumus d = 6 + 3 cos (30t)ᵒ dengan t adalah waktu (dalam jam) yang diukur dari pukul 12:00 siang. Waktu setelah pukul 12:00 siang ketika tinggi air mencapai 7,5 meter untuk yang kedua kalinya adalah pukul 22:00. Berikut beberapa rumus persamaan trigonometri yaitu:

sin x = sin p

x = p + k . 360ᵒ atau x = (180ᵒ – p) + k . 360ᵒ

cos x = cos p

x = p + k . 360ᵒ atau x = –p + k . 360ᵒ

tan x = tan p

x = p + k . 180ᵒ

k adalah anggota bilangan bulat

Pembahasan

Tinggi air dalam meter disuatu pelabuhan diperkirakan dengan rumus

d = 6 + 3 cos (30t)ᵒ

Tinggi air akan mencapai 7,5 m untuk kedua kalinya saat t = … ?

6 + 3 cos (30t)ᵒ = 7,5

3 cos (30t)ᵒ = 7,5 – 6

3 cos (30t)ᵒ = 1,5

cos (30t)ᵒ =

cos (30t)ᵒ =

cos (30t)ᵒ = cos 60ᵒ

30t = 60 + k . 360 atau 30t = –60 + k . 360

t = 2 + k . 12 t = –2 + k . 12

t = 2 t = –2 ⇒ untuk k = 0

t = 14 t = 10 ⇒ untuk k = 1

dan seterusnya

Jadi ketinggian air akan mencapai 7,5 m

Untuk pertama kali saat t = 2 jam

Untuk kedua kali saat t = 10 jam

Untuk ketiga kali saat t = 14 jam

dan seterusnya

Berarti ketinggian air akan mencapai 7,5 meter untuk yang kedua kalinya pada pukul

= 12:00 + 10 jam

= 22:00

Jawaban:

sin 3x = –½ √2 untuk 0 ≤ x ≤ 360ᵒ adalah

HP = {75ᵒ, 105ᵒ, 195ᵒ, 225ᵒ, 315ᵒ, 345ᵒ}

Berikut beberapa rumus persamaan trigonometri yaitu:

sin x = sin p

x = p + k . 360ᵒ atau x = (180ᵒ – p) + k . 360ᵒ

cos x = cos p

x = p + k . 360ᵒ atau x = –p + k . 360ᵒ

tan x = tan p

x = p + k . 180ᵒ

k adalah anggota bilangan bulat

SEMOGA BERMANFAAT:)