Syarat agar persamaan mempunyai 4 akar real yang berbeda adalah?

(p – 2)x⁴ + 2px² + (p – 1) = 0

a = (p – 2)
b = 0
c = 2p
d = 0
e = (p – 1)

Gunakan teorema Sturm.

Anggap teorema sudah dapat dibuktikan, sehingga akan didapatkan untuk pemfaktorannya :

p0 = polinominal
p1 = turunan polinom
p2 = sisa p0/p1 * -1
p3 = sisa p1/p2 * -1
p4 = sisa p2/p3 * -1

 Sedemikian, sehingga :

p0 = (p – 2)x⁴ + 2px² + (p – 1)
p1 = 4(p – 2)x³ + 4px = (4p – 8)x³ + 4px
p2 = -1 * (Px² + (P – 1)) = -Px² + (1 – P)
p3 = -1 * (4Px – (4P² + 12P – 8)/P) = -4Px + (4P² + 12P-8)/P)
p4 = -1 * (-2(p² – p + 1)/p) = 2(p² – p + 1)/p

Uji dengan memasukan nilai -∞ dan ∞ pada derajat tertingginya.

p0 = (p – 2)x⁴
p1 = 4(p – 2)x³
p2 = -Px²
p3 = -4Px
p4 = 2(p² – p + 1)/p

cari satu-satu hingga, perubahan tandanya 4 dan  0 (karena p4 tidak mungkin berubah tandanya ketika dimasukan).

nilainya akan memiliki 4 akar real ketika 4 – 0

Sehingga didapatkanlah batas (dengan trial and error) :

p < 1 atau p > 2

===========

Cara lainnya, gunakan rumus langsung :

b dan d = 0

D = 256(ae)³ – 192a²bde² – 128(ace)²+ 144a²cd²e – 27a²d⁴ + 144ab²ce² – 6ab²d²e – 80abc²de + 18abcd³ + 16ac⁴e – 4ac³d² – 27b⁴e² + 18b³cde – 4(bd)³ – 4b²c³e + (bcd)³

D = 256((p-2)(p-1))³ – 0 – 128((p-2)2(p-1))² + 0 – 0 + 0 – 0 – 0 + 0 + 16(p-2)2⁴(p-1) – 0 – 0 + 0 – 0 – 0 + 0

D = 256(p² – 3p + 2)³ – 128(2(p² – 3p + 2)² + 16.16(p² – 3p + 2)
D = 256(p² – 3p + 2)³ – 256(p² – 3p + 2)² + 256(p² – 3p + 2)

256(p² – 3p + 2)³ – 256(p² – 3p + 2)² + 256(p² – 3p + 2) > 0
(p² – 3p + 2)³ – (p² – 3p + 2)² + (p² – 3p + 2) > 0

misal p² – 3p + 2 = a

a³ – a² + a > 0
a(a² – a + 1) > 0

karena a² – a + 1 imajiner, jadi abaikan

a = 0
p² – 3p + 2 = 0
(p – 2)(p – 1) = 0

sehingga batas-batasnya :
p = 2 dan p = 1

uji p pada 0
(0 – 2)(0 – 1) > 0
(-2)(-1) > 0
2 > 0
memenuhi

karena 0 berada di samping kiri 1, dan 0 memenuhi persyaratan, maka :

p < 1 atau p > 2

dengan syarat yang ada, opsi A, C, D, dan E tidak memenuhi, karena tidak ada yang > 2

karena interval (-∞, -1) merupakan bagian dari interval (-∞, 1), maka bagiannya juga masuk. sehingga, p < -1 atau p > 2 tetap memenuhi

= B.