Tentukan a dan b sehingga 314 a + 159 b = 1 mohon di bantu kakak​

By Posted on

Tentukan a dan b sehingga 314 a + 159 b = 1 mohon di bantu kakak​

Jawaban Terkonfirmasi

a = –40 dan b = 79
 

Pembahasan

Teori Bilangan: Algoritma Pembagian dan Aplikasinya

Diketahui

  • 314a + 159b = 1

Ditanyakan

  • Nilai a dan b yang memenuhi

PENYELESAIAN

largetext{$begin{aligned}&314a+159b=1\Rightarrow &b=frac{1-314a}{159}end{aligned}$}

Jika a dan b bilangan real, tentu akan terdapat tak terbatas solusi.

Jika a dan b bilangan bulat, kita dapat menyelesaikannya dengan algoritma pembagian Euclidean (algoritma pembagian berkali-kali).

  • 314 = 1×159 + 155
  • 159 = 1×155 + 4
  • 155 = 38×4 + 3
  • 4 = 1×3 + 1
  • 3 = 3×1 + 0  (selesai)

Untuk menemukan nilai bilangan a dan b, kita telusuri algoritma di atas secara terbalik.

Pada langkah sebelum langkah terakhir, kita mendapatkan:
4 = 1×3 + 1

Karena ruas kanan 314a + 159b = 1 adalah 1, maka penelusuran dimulai dari langkah tersebut.

1 = 4 – 1×3
  = 4 – 1×(155 – 38×4)
  = 4 – 155 + 38×4
  = 39×4 – 155
  = 39×(159 – 1×155) – (314 – 1×159)
  = 39×[159 – (314 – 1×159)] – (314 – 1×159)
  = 39×159 – 39×314 + 39×159 – 314 + 159
  = 159(39 + 39 +1) + 314(–39 – 1)
  = 159(79) + 314(–40)
  = 314(–40) + 159(79)
⇒ Diperoleh: a = –40 dan b = 79

Pemeriksaan
314(–40) + 159(79)
= –12560 + 12561
= 1  
⇒ benar, sesuai persamaan 314a + 159b = 1
 

KESIMPULAN

∴  Nilai a dan b sehingga 314a + 159b = 1 adalah:
a = –40 dan b = 79